Taylorreihenentwicklung teil a

Aufrufe: 125     Aktiv: 17.01.2024 um 11:38

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Sei f ∈ C² [a, b] eine zweimal stetig differenzierbare Funktion auf dem Intervall [a, b]. Bei der numerischen Auswertung von f ′ (x) wählt man eine möglichst kleine Schrittweite h und berechnet den Vorwärtsdifferenzenquotienten 


Der Differenzquotient dh wird exakt berechnet und nicht mit Gleitkommazahlen. Zeigen Sie, dass für den dabei gemachten Diskretisierungsfehler gilt: 



Verwenden Sie eine Taylorreihenentwicklung.


meine lösung laut / 

Durch Anwendung der Taylorreihe auf f(x+h) erhalten wir:
f(x+h) = f(x) + hf´(x) +h²/2 f´´(x) + O(h³)

Subtrahieren wir f(x) on beiden Seiten und teilen durch , um den Vorwärtsdifferenzenquotienten zu berechnen:
dh = f´(x) + h/2 f´´(x) + O(h²) 
-> dh-f´(x) = h/2 f´´(x) +  O(h²)

da f´´(x) stetig und O(h²) den Fehlerterm darstellt.. bis hier könnte ich berechnen kann jemand mir darübrt helfen ?

danke 
Abdull 



 

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1 Antwort
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Von der Idee her ja, von der Ausführung nein. Da $f\in C^2$, kannst Du nur bis $O(h^2)$ entwickeln.
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Danke für die Rückmeldng
aber wie kann ich zu

∣ dh(x)−f ′(x) ∣ ≤ c⋅h kommen ?

Ich würde sagen, da f ′′(x) stetig ist (Da f ∈ C² [a,b]), und O(h²) den Fehlerterm darstellt, können wir den Ausdruck vereinfachen :

∣ dh(x)−f ′(x) ∣ = ∣ h/2 f ′′(x) ∣ + O(h²)
Für einen Konstanten c ∈ R können wir schreiben:
∣ dh(x)−f ′(x) ∣ ≤ c⋅h + O(h²)

Daher gilt die gewünschte Ungleichung für c ∈ R, wodurch der Diskretisierungsfehler im Vorwärtsdifferenzenquotienten durch die Schrittweite h beschränkt ist.
  ─   abdull 16.01.2024 um 09:58

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Lies die Antwort und korrigiere den Fehler.   ─   mikn 16.01.2024 um 10:40

Entschuldigung, aber ich hab nicht verstanden was meinten Sie mit dem Fehler
  ─   abdull 16.01.2024 um 13:19

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Deine Entwicklung geht so nicht, siehe Antwort oben.   ─   mikn 16.01.2024 um 14:14

Danke für Ihre Hilfe.
Ich könnte andere lösung herausfinden
Die Taylorreihe von f(x+h) m den Punkt x lautrt
f(x+h) = f(x) + hf´(x)+ h²/2 f´´(x) + R(h), R(h)der Restterm ist, der höherer Ordnung als h² ist
mit dem Vorwärtsdifferenzenquotient dh(x),Subtrahieren wie f(x) von beiden Seiten:
dh(x) = f´(x)+ h/2 f´´(x) + R(h)/h
Nun betrachten wir den Diskretisierungsfehler ∣ dh(x) - f´(x) I
∣ dh(x) - f´(x) I = I h/2 f´´(x) + R(h)/h I , f zweimal stetig differenzierbar ist, können wir davon ausgehen, dass f´´(x) beschränkt ist, d.h., es gibt ein M mit I f´´(x) I < M für alle x im intervall (a,b) dann gilt :
∣ dh(x) - f´(x) I = I h/2 f´´(x) + R(h)/h I < h/2 M + C.h² / IhI
da R(h) ein Restterm ist, der höherer Ordnung als h² ist, wird I R(h) I durch einen konstanten Faktor C multipliziert:
I R(h) I < C.h²
setzen Sie dies in die obige Gleichung ein:
∣ dh(x) - f´(x) I < h/2 M + C.h² / I h I
für h ungleich 0 können wir den Term h / I h I als sign h schreiben,Daher erhalten wir:
∣ dh(x) - f´(x) I < h/2 M + C . I h I
Nun definieren wir c = h/2 M + C, Dann erhalten wir die gewünschte Ungleichung:
∣ dh(x) - f´(x) I < c.h

ich hoffe, dass ich in der richtigen Richtung bin.
Danke
  ─   abdull 17.01.2024 um 10:58

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Damit hast Du den Fehler nur verschleiert, da man über R(h) nichts weiß. Nichts!
Die erlaubte Entwicklung (schlag das in den Unterlagen nach) ist, wie ich schon gleich am Anfang sagte: $f(x+h)=f(x)+hf'(x)+O(h^2)$, und damit geht alles.
  ─   mikn 17.01.2024 um 11:38

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