Erstmal ist da nirgendwo eine Gleichung (siehst Du ein =-Zeichen?). Achte auf die Begriffe, das ist die Grundlage für das Verständnis.
Du hast hier einen Ausdruck, den Du umformst. Hier fehlen nun =-Zeichen zwischen den Zeilen.
Deine Umformungen sind soweit korrekt. In der 4. Zeile kannst Du rechts ein $\cap \bar A$ sparen (es werden ja drei Ausdrücke mit $\cap$ verbunden).
Aus der Tatsache, dass Du(!) am Ende nicht auf $(B\cup C)\setminus A$ kommst, kannst Du aber nicht schließen, dass die Mengen ungleich sind.
In der Tat, die Mengen sind nämlich gleich.
Das kann man mit Software verifizieren, wenn man das ganze in logische Ausdrücke umsetzt. Umformungen dazu habe ich auch nicht zur Hand, was aber immer geht ist eine Wahrheitstafel als Nachweis. Hier hätte die 8 Zeilen, das ist machbar, wenn auch etwas lästig.