Numerik - keine eindeutige Lösung von Minimerungsproblem

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Hallo zusammen, Wir haben eine Aufgabe bekommen folgendes zu zeigen: Beh: Auch wenn A vollen Rang hat, so hat min{x} ||Ax-b||1 (also 1-Norm bzw Spaltensummennorm) im Allgemeinen keine eindeutige Lösung Unser Tutor meinte wir sollen ein Gegenbeispiel mit A einer 2x1 Matrix suchen. Ich weiss aber nicht, wie ich das am besten zeige.. mein Gedanke war der, dass ich A = (1 -1) als Spalte und b = ( 1 1) als Spalte Denn für kein x kann dies null werden und wegen der verschiedenen Vorzeichen kann man beim Minimalwert den positiven und den negativen x-Wert nehmen Allerdings weiss ich nicht, wie ich die Aufgabe jetzt formal noch richtig löse. Könnt ihr mir hier helfen? Dankeschön!!
gefragt 7 Monate, 1 Woche her
anonym
Student, Punkte: 20

 
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2 Antworten
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Dein Beispiel ist gut, einfach ausrechnen: Dann ist

\( \| Ax-b\|_1 = |x-1| + |x+1| =\begin{cases} 2\,x & x> 1\\ 2 &  x\in [-1,1] \\ -2x & x<-1 \end{cases}\)

Daraus sieht man:\( \| Ax-b\|_1 \ge 2\) für alle \(x\).

Das Minimum wird also unendlich oft angenommen, nämlich in jedem \(x\in [-1,1]\).

 

geantwortet 7 Monate, 1 Woche her
mikn
Lehrer/Professor, Punkte: 10.04K
 

Super, dankeschön!
Deckt meine Frage perfekt ab und ist verstanden :)
  ─   anonym 7 Monate, 1 Woche her

Freut mich!   ─   mikn 7 Monate, 1 Woche her
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Ich denk du kannst diese Aufgabe leicht grafisch loesen. Zeichne fuer dein Beispiel den span(A) ein und den Vektor b. Dann falls x = 0 keine minimierer ist, kann man aus der symmetrie leicht sehen, dass es eine gerade Anzahl an minimierer geben muss.

geantwortet 7 Monate, 1 Woche her
k.l.
Student, Punkte: 560
 
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