Volumen berechnen

Aufrufe: 337     Aktiv: 19.11.2023 um 12:38
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Hallo zusammen, 

Vielen Dank erneut für eure Hilfe. Ich habe den Lerneffekt bei dein Einheitsvektoren nachgearbeitet und gut verstanden. Vielen Dank nochmals. 

Nun habe ich es mit einer neuer Aufgabe zu tun: 

Ein Silo, dass nach oben geöffnet ist, soll mit Getreide gefüllt werden. Die Befüllung hört erst dann auf, wenn Getreite hinunterfällt. 

Die Getreidekörner haften mit einem Reibungskoeffizient von 0,3 aneinander. 

Was ist das maximale Volumen an Getreide, das in das Silo passt? 

Das Silo hat ein Durchmesser von 10 Metern und eine Höhe von 30 Metern. 

Als ersten Schritt würde ich das Volumen des Silos ausrechnen. 

Radius = 1/2 von Durchmesser = 5 Meter 

Volumen = Grundfläche des Silos mal Höhe: Pi mal Radius^2 mal Höhe = Pi mal 25 mal 30 = Ca. 2.356,19 m3 

Wie arbeite ich nun das Volumen der Reibung (Abstand?) zwischen den Körnern in das Volumen ein? 

 

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Oben auf dem Silo bildet sich, nachdem es randvoll ist, ein Schüttkegel. Das Volumen dieses Kegels muss man noch zu den des zylinderförmigen Silos dazu rechnen.

Volumen des Kegels ist \(\pi r^2 h_{SK}/3\), wobei r wie gehabt, und \(h_{SK}\) die Höhe des Schüttkegels.
Und das \(h_{SK}\) kannst Du mittels dem Reibungskoeffizienten ausrechnen, und zwar durch folgende Überlegung: Der Neigungswinkel des Schüttkegels ist so, dass sich ein Korn mit Reibungskoeffizient 0,3 gerade so halten kann. Das wiederum ist der Fall, wenn
\(\frac{\mbox{Hangabtriebskraft}}{\mbox{Normalenkraft}} = 0,3\).

Hast Du die Neigungswinkel des Schüttkegels, dann kommst Du, zusammen mit r, auch auf \(h_{SK}\) und damit das Volumen.

Falls Du noch Hilfe braucht, gerne nochmal nachfragen.
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Lieber m.simon,

Vielen Dank. Ehrlich gesagt habe ich gar nicht so schnell mit einer Antwort gerechnet. Ich werde das morgen bearbeiten und dann Rückmeldung geben.

Liebe Grüße   ─   userb83343 15.11.2023 um 23:02
Bei der Formel für den Kegel fehlt der Faktor $\frac{1}{3}$.   ─   cauchy 15.11.2023 um 23:16
Sorry, das 1/3 hatte ich vergessen und habe es jetzt eingebaut.   ─   m.simon.539 16.11.2023 um 01:01
Wie kommt der Faktor 1/3 zustande? Und wie bekomme die Normalenkraft? Dafür brauche ich ja zumindest die Masse.   ─   userb83343 16.11.2023 um 14:32
Der Faktor 1/3 kommt aus der Formel für das Volumen eines Kegels, siehe hier: https://de.wikipedia.org/wiki/Kegel_(Geometrie)#Volumen
Die Zerlegung der Gewichtskraft in Normalen- und Hangabtriebskraft ist in diesem Wiki-Artikel beschrieben: https://de.wikipedia.org/wiki/Hangabtriebskraft
Die Masse der Körner musst Du gar nicht wissen, denn die kürzt sich heraus: Ein schweres Korn beginnt bei dem gleichen Winkel zu rutschen wie ein leichtes Korn.   ─   m.simon.539 16.11.2023 um 21:39
Hallo m.simon.530,

Vielen Dank für deine Hilfe. Dennoch bin ich mehr sehr unsicher mit meiner Lösung für diese Aufgabe.

V2 (Maximales Volumen an Getreide, das in das Silo passt) = V1 (Volumen des Silos) (=2.356,19 m3) +((π x r^2 x hsk) : 3)

Neigungswinkel = Hangabtriebskraft / Normalenkraft = m x g x sin (α)/ m x g = 0.3

sin^-1 (0,3) = α = 17.46 ° (Neigungswinkel bei dem ein Korn anfängt abzurutschen)

h = r / sin / (17.46° = 16.67 m

(π x r^2 x 16.67 m) / 3 = 436,42 m^3

2.356,19 m3 + 436,42 m^3 = 2792,61 m3 Gesamtvolumen maximales Getreide das in das Silo passt   ─   userb83343 17.11.2023 um 10:21
Die Normalenkraft ist nicht \(mg\), sondern \(mg\cos(\alpha)\). Das steht so, ein wenig verschwurbelt, im besagten Wiki-Artikel.

Dann hast Du \(\displaystyle \frac{\mbox{Hangabtriebskraft}}{\mbox{Normalenkraft}} = \frac{mg\sin(\alpha)}{mg\sin(\alpha)} = \tan(\alpha)\).

Deine Formel für Dein h ist falsch.
Nehmen wir das Dreieck, welches folgende Eckpunkte hat:
- A = irgendein Punkt vom oberen Silorand
- B = Spitze des Schüttkegels
- C = Mitte des Silodeckels, wenn man das Silo nur randvolle Silo mit einem Deckel bedeckeln würde.
Dieses Dreieck hat im Punkt C einen rechten Winkel.
Der Neigungswinkel \(\alpha\) liegt am Punkt A an.

Es gilt ja ganz allgemein: \(\displaystyle \tan(\alpha) = \frac{\mbox{Gegenkathete}}{\mbox{Ankathete}}\).

In unserem Falle gilt: \(\displaystyle \tan(\alpha) = \frac{h_{\mbox{SK}}}{r}\), also \(h_{\mbox{SK}} = \tan(\alpha) r\).
Man sieht, dass man das \(\alpha\) gar nicht ausrechnen muss!

Das Zylindervolumen von \(2.356,\!19\,m^3\) ist korrekt
   ─   m.simon.539 17.11.2023 um 17:58
tan^-1(0.3) = 16.70

Tan(16.70) x 5 = 8.77 m hsk

8.771 x 25 x 𝜋 / 3 = 229.62 m^3   ─   userb83343 18.11.2023 um 15:39
Ne. \(h_\mbox{SK} = \tan(\alpha) r = 0,\!3 \cdot 5\, \mbox{m} = 1,\!5\, \mbox{m}\).
   ─   m.simon.539 18.11.2023 um 17:09
Hallo vielen Dank. Ich war mir lange unsicher bei dem Ergebnis von tan(α).   ─   userb83343 19.11.2023 um 12:38

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