Begründen, warum die Umkehrfunktion existiert

Aufrufe: 62     Aktiv: 19.11.2021 um 16:58

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Hallo!

Ich soll begründen, dass die Umkehrfunktion existiert. Dafür muss die Funktion ja bijektiv sein.
Wenn ich jetzt zeigen möchte, dass die Funktion an sich injektiv ist, dann mache ich die
1. Ableitung und die Monotonie-Intervalle.

Wenn die Funktion jetzt streng monoton wachsend ist folgt daraus die Injektivität.
Ist die Funktion auch injektiv wenn sie streng monoton fällt?

Danke schon einmal im Voraus fürs Beantworten meiner Frage!
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Student, Punkte: 52

 
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1 Antwort
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Wenn der Graph von $f$ streng monoton wächst, was weißt du dann über den Graphen von $-f$? Und ist $-f$ injektiv, wenn $f$ injektiv ist?
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Selbstständig, Punkte: 14.89K

 

-f fällt dann, laut Geogebra :D

Also ich denke schon, dass -f injektiv ist, weils ja von -f auch ne Umkehrfunktion gibt.

Aber dann frag ich mich, woran ich das ganze sonst fest mache, dass ein Graph injektiv ist..

  ─   trivial1603 19.11.2021 um 13:49

Also nicht zu wissen was ein Minus vor dem Funktionsterm verändert, ist schon... Hui. Aber gut, immerhin hast du nachgeschaut.

Wenn du zeigen sollst, dass $f$ eine Umkehrfunktion besitzt, kannst du das ja schlecht damit beweisen, weil $-f$ eine besitzt. Denn das weißt du ja dann auch erstmal nicht.

Die Antwort soll aber deine gezielt gestellte Frage beantworten. Denk da nochmal drüber nach.
  ─   cauchy 19.11.2021 um 13:58

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Es ist zwar echt nett von dir, dass du mir helfen möchtest, aber dein erster Satz hats schon in sich. Manche sind in Mathe eben begabter, andere dafür weniger. Und wenn ich dann wenigstens bei Geogebra nachschaue, um mir das noch besser vorstellen zu können, dann ist das doch besser, als wenn ich es nicht mache?
Solch Aussagen sind einfach unnötig.

  ─   trivial1603 19.11.2021 um 14:03

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Ja sorry, war etwas unpassend. Klar, nachschauen ist immer super, besser ist es aber, wenn man dann noch versteht, warum es gerade so ist. Das macht sie Sache dann sehr viel einfacher.

Wenn man sich klar macht, was das minus bewirkt, dann ist es selbsterklärend. Und damit ergibt sich dann auch die Antwort, ob eine streng monoton fallende Funktion injektiv ist oder nicht.
  ─   cauchy 19.11.2021 um 14:13

Beachte dass die Existenz der ersten Ableitung impliziert, dass deine Funktion differenzierbar ist... das ist eine ziemlich starke Forderung. Deine Funktion muss im Allgemeinen noch nicht einmal stetig sein.

Eine Abbildung ist injektiv wenn keine zwei verschiedenen Elemente dasselbe Bild besitzen, d.h. $x_1\not= x_2\implies f(x_1) \not= f(x_2)$ für alle $x_1,x_2$ im Defintionsbereich, oder äquivalent: $f(x_1) = f(x_2) \implies x_1 = x_2$

Injektivität ist gleichbedeutend mit der Existenz einer linksinversen Funktion. D.h. wenn du (aus Gründen) nicht die Injektivität direkt zeigen kannst oder willst, kannst du probieren das Linksinverse zu bestimmen. Sei $f\colon A\to B$ deine Abbildung. Dann ist $g\colon B\to A$ linksinvers zu $f$ wenn $g\circ f = \operatorname{id}$.

Ansonsten kann man strenge Monotonie auch ohne die erste Ableitung nachweisen. Betrachte z.B. $f\colon \mathbb R\setminus \{0\}\to \mathbb R,\ f(x) = \frac{1}{x}$. Du brauchst nicht die erste Ableitung um zu zeigen dass $x_1 < x_2 \Rightarrow \frac{1}{x_1}> \frac{1}{x_2}$ für alle $x_1,x_2\in \mathbb R\setminus \{0\}$ gilt.

Ansonsten find ich Cauchys Kommentar ebenfalls daneben.
  ─   zest 19.11.2021 um 14:19

Danke zest für deine ausführliche Antwort!

Ah okay, ich glaub ich habs kapiert. Eine Funktion kann also smw (streng monoton wachsen) oder smf (streng monoton fallen) und in beiden Fällen injektiv sein.

Es geht nur darum, dass die Abbildung zu zwei verschiedenen Elementen nicht dasselbe Bild besitzt. (so wie die Definition es selbst eben sagt)

Danke!

  ─   trivial1603 19.11.2021 um 15:27

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Ja, genau. Deshalb impliziert strenge Monotonie die gewünschte Eigenschaft (egal ob streng monoton steigend/fallend).   ─   zest 19.11.2021 um 15:33

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