Abgeschlossene Teilmenge

Aufrufe: 67     Aktiv: 09.10.2021 um 17:57

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Ich soll beweisen, dass die Menge

A={(x,y,z) element R^3 :sqrt(x^4+y^2 <=z<=1}

eine abgeschlossene Teilmenge im R^3 mit der euklidischen Metrik ist.
Wie mache ich das?

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Eine weitere Möglichkeit wäre es, die stetige Funktion \( f(x,y,z)=(\sqrt{x^4+y^2}-z, \ z) \) zu betrachten und dann \( A \) als Urbild einer abgeschlossenen Menge zu schreiben.
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Wähle \(x \in A\) und \(\varepsilon \in \mathbb{R}^+\). Zeige nun, dass wenn \(y\in A\) und \(d(x,y) <\varepsilon\) gilt, auch \(y \in \mathbb{R}^3 \setminus A\) gilt.
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Wie zeige ich das?   ─   user9902 09.10.2021 um 15:54

Bestimme erstmal \(\mathbb{R}^3 \setminus A\) und arbeite dich danach durch abschätzen weiter, das ist eine gute Übung.   ─   mathejean 09.10.2021 um 15:56

Wie bestimm ich denn R^3\A?   ─   user9902 09.10.2021 um 15:57

Da musst du die Mengenkomprehension einfach nur negieren.   ─   mathejean 09.10.2021 um 16:03

Mengenkomprehension heißt?   ─   user9902 09.10.2021 um 16:05

Die Bedingung für deine Elemente der Menge, hier die Ungleichung. Der Weg von mikn ist jedoch deutlich einfacher, falls dies in der Vorlesung schon so eingeführt wurde, nimm lieber seinen Weg.   ─   mathejean 09.10.2021 um 16:16

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Nimm eine allgemeine beliebige konvergente Folge aus A, also $(x_n,y_n,z_n) \in A$ mit $\lim\limits_{n\to\infty} (x_n,y_n,z_n) = (x,y,z)$. Zeige dann mit den Grenzwertsätzen, dass dann $(x,y,z)\in A$ gilt.
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Wie wähle ich denn da eine Folge? Also wie denke ich mir da was aus?   ─   user9902 09.10.2021 um 16:06

Sorry, unklar formuliert (verbessere gleich). Es muss eine allgemeine Folge sein, wir wissen darüber also nur, was in meiner Antwort steht. Zugrunde liegt: "Eine Menge ist abgeschlossen, wenn Grenzwerte von beliebigen konvergenten Folgen aus dieser Menge wieder in der Menge liegen."   ─   mikn 09.10.2021 um 16:09

Also aus A dann konvergente Folgen?   ─   user9902 09.10.2021 um 16:10

Wie es da steht: ".... eine... konvergente Folge....".   ─   mikn 09.10.2021 um 16:38

Also zb 2-1/n ?   ─   user9902 09.10.2021 um 16:40

Ich sagte "allgemein". Du kannst mit einem Beispiel anfangen (als Beweis reicht das nicht), das hilft vielleicht. Eine Folge in A. 2-1/n ist keine Folge in A. Lies die Kommentare, achte auf jedes Zeichen.   ─   mikn 09.10.2021 um 17:05

Was ist denn allgemein für diese Aufgabe?   ─   user9902 09.10.2021 um 17:06

"allgemein" heißt, wir wissen nur die Angabe aus der Aufgabenstellung und meinem Kommentar. Sagte ich schon. Wenn ich mich hier wiederholen, wird alles unübersichtlich, das hilft nicht..   ─   mikn 09.10.2021 um 17:15

Ja tut mir leid, ich weiß nur nicht, was für eine Folge ich wählen muss..   ─   user9902 09.10.2021 um 17:44

Du scheinst nicht zu wissen, was ein Beweis ist, d.h. wie man eine allgemeine Aussage zeigt. Schau Dir das erstmal an einfacheren Beispielen in Deinen Unterlagen an.
Ich sagte auch schon, wenn Du mit "allgemein" Probleme hast, fang mit einem Beispiel an.
  ─   mikn 09.10.2021 um 17:46

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Du nimmst an, dass \(a_n \in A\) gegen \(a\) konvergiert (das kann man nicht beweisen, das ist deine Voraussetzung) und folgerst \(a \in A\)   ─   mathejean 09.10.2021 um 17:48

Doch weiß ich. Nur weiß ich nicht, wie man das hier zeigt, sonst hätte ich wohl nicht gefragt.   ─   user9902 09.10.2021 um 17:56

Danke mathejan   ─   user9902 09.10.2021 um 17:57

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