Lokale und Globale Extremstellen

Erste Frage Aufrufe: 128     Aktiv: 19.12.2021 um 14:04

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Hallo, es geht um die lokalen und globalen Extremstellen. 
Ich bin mir nicht sicher, was das genau für Maxima (die, die ich mit orangenen Strichen gekennzeichnet habe) sind.
Könnte mir das bitte jemand erklären?
Danke!

EDIT vom 18.12.2021 um 20:57:



Hier findet sich folgende Abbildung.
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Schüler, Punkte: 20

 
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Ist die Funktion nur auf diesem angezeigten Intervall definiert? Was ist denn der Unterschied zwischen einem lokalen Extremum und einem globalen Extremum und was könnte dann hier der Fall sein?
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Selbstständig, Punkte: 17.95K

 

Ja, tut mir leid, habe ich vergessen zu erwähnen. Das Intervall eckige Klammer 0; 6 eckige Klammer ist damit gemeint.   ─   bogar 18.12.2021 um 19:57

Ein globales Extremum ist immer der höchste Punkt einer Funktion, die lokalen sind viel niedriger.   ─   bogar 18.12.2021 um 19:58

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Und was trifft hier zu?   ─   cauchy 18.12.2021 um 19:59

Hier bin ich mir nicht sicher, da alle drei Maxima auf gleicher Höhe liegen und es zwei Randextrema und einen Hochpunkt gibt. Könnten Sie mir das bitte erklären?   ─   bogar 18.12.2021 um 19:59

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Ob es Randextrema sind, spielt hier gar keine Rolle. Ein globales Maximum liegt vor, wenn es auf dem gesamten Definitionsbereich keine größeren Funktionswerte gibt. Was ist hier der Fall?   ─   cauchy 18.12.2021 um 20:02

Könnten die beiden Randextrema globale Maximumstellen sein und der Hochpunkt ein lokales Maximum?   ─   bogar 18.12.2021 um 20:02

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Mit welcher Begründung?   ─   cauchy 18.12.2021 um 20:02

Die Randextrema könnten auch viel höher liegen als der Hochpunkt würde ich sagen.   ─   bogar 18.12.2021 um 20:03

Also stimmt meine Überlegung?   ─   bogar 18.12.2021 um 20:03

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Könnten... Tun sie aber nicht! Also?   ─   cauchy 18.12.2021 um 20:06

Was wäre Ihr Vorschlag? Ich bin jetzt ganz verwirrt.
  ─   bogar 18.12.2021 um 20:06

Dann schau dir die Definition vom globalen Maximum an. Habe ich eben noch geschrieben. Welche Punkte kommen dann als globales Maximum in Frage?   ─   cauchy 18.12.2021 um 20:08

Wenn der ganze Bereich für die reellen Zahlen gilt, dann ist der Hochpunkt ein globales und lokales Maxima.   ─   bogar 18.12.2021 um 20:09

Und die Randwerte?   ─   cauchy 18.12.2021 um 20:10

Die sind lokal   ─   bogar 18.12.2021 um 20:11

Aber wie sieht es dann aus, wenn man sich auf das Intervall beschränkt?
Diese zwei Unterschiede habe ich nicht verstanden. Könnten Sie mir das bitte erkläre, da ich bald eine Klausur habe?
  ─   bogar 18.12.2021 um 20:12

Warum sind die Randwerte lokale Extrema? Gibt es Funktionswerte, die auf dem Definitionsbereich größer sind?

Und nochmal zu dem Kommentar davor: Wenn der Definitionsbereich die ganzen reellen Zahlen sind, dann ist der Hochpunkt nicht global!
  ─   cauchy 18.12.2021 um 20:13

Ja, das verstehe ich, aber was ist dann mit den Randextrema? Ich frage deshalb, da wir das Thema nicht so ausführlich besprochen haben.   ─   bogar 18.12.2021 um 20:16

So viel gibt es da auch nicht zu besprechen, wenn man die Definition verstanden hat bzw. den Unterschied zwischen lokal und global.

Was soll mit den Randextrema sein? Du musst doch nur entscheiden, ob sie lokal sind oder global. Ist dir der Unterschied zwischen beiden Varianten nicht klar?
  ─   cauchy 18.12.2021 um 20:18

Eben nicht, ich hätte gerne gewusst, ob Sie mir eine kleine Übersicht machen könnten bezogen auf die reellen Zahlen und ein bestimmtes Intervall und dann nerve ich Sie auch nicht mit meinen Fragen.   ─   bogar 18.12.2021 um 20:19

Was will man da für eine Übersicht machen? Man muss nur wissen, was die Begriffe lokal und global bedeuten: Ein Extremum heißt lokal, wenn es in einer Umgebung um diesen Punkt keinen größeren/kleineren Funktionswert gibt. Ein Extremum heißt global, wenn es auf dem gesamten Definitionsbereich keinen größeren/kleineren Funktionswert gibt. Daraus folgt unter anderem: Jedes globale Extremum ist gleichzeitig auch ein lokales Extremum.   ─   cauchy 18.12.2021 um 20:22

Das weiß ich auch   ─   bogar 18.12.2021 um 20:25

Mir ist nur nicht klar, was die Randextrema sind, wenn es auf reelle Zahlen oder ein Intervall bezogen ist? Das wäre die ganze Zeit schon die Frage gewesen.   ─   bogar 18.12.2021 um 20:26

Es wäre wirklich sehr hilfreich, wenn Sie das bitte erklären könnten. Ich bin ja auch nicht zum Spaß hier.   ─   bogar 18.12.2021 um 20:26

Wenn der Definitionsbereich die reellen Zahlen sind, dann gibt es keine Randextrema, weil es ja auch keinen Rand gibt... Ansonsten gilt für Randextrema das gleiche wie für Extrema, die nicht am Rand liegen. Sind es die größten/kleinsten Werte auf dem gesamten Intervall, dann global, sonst lokal. Das sage ich aber auch die ganze Zeit. Und wenn dir die Definition klar ist, warum wendest du sie nicht einfach an?   ─   cauchy 18.12.2021 um 20:28

Ich habe es dann falsch verstanden, aber jetzt weiß ich, was Sie damit meinen! Danke nochmals!   ─   bogar 18.12.2021 um 20:37

Ist es nun klar, was hier für Extrema vorliegen?   ─   cauchy 18.12.2021 um 20:38

Nein, das bitte noch einmal mit dem Intervall. Dann wäre die Frage geklärt   ─   bogar 18.12.2021 um 20:44

Der Hochpunkt ist ein lokales Maximum, die zwei restlichen sind global   ─   bogar 18.12.2021 um 20:44

So habe ich das verstanden, wenn etwas nicht passt, bitte korrigieren Sie mich.   ─   bogar 18.12.2021 um 20:44

Warum ist der Hochpunkt nur ein lokales Maximum?   ─   cauchy 18.12.2021 um 20:45

Weil die Randextrema höher sein könnten   ─   bogar 18.12.2021 um 20:48

Könnten sie nicht. Du kannst doch genau sehen, wie hoch sie sind.   ─   cauchy 18.12.2021 um 20:50

Also Sie meinen bei einem Intervall, wenn alle auf gleicher Höhe sind, sind alle global und lokal   ─   bogar 18.12.2021 um 20:51

Natürlich. Das ist ja die Definition von global, dass es keine höheren gibt. Und dass es keine höheren gibt, kann man auf dem Bild doch sehr gut sehen. Ich weiß echt nicht, wieso du die ganze Zeit im Kopf hattest, dass die Randextrema höher sein könnten. Sicherlich gibt es Funktionsgraphen, wo dies der Fall ist, auch dass die Randextrema unterschiedlich hoch sind, aber das ist doch für den hier vorliegenden Funktionsgraphen völlig irrelevant.   ─   cauchy 18.12.2021 um 20:53

Achso, ja, jetzt ist das klar. Ich kann Ihnen ein Bild von meinem Buch schicken, da steht das   ─   bogar 18.12.2021 um 20:54

Gut, wenn das jetzt klar ist. :)   ─   cauchy 18.12.2021 um 20:55

Wenn Sie die zweite Abbildung betrachten: das mit dem Intervall wäre klar. Das bedeutet, wenn es auf die reellen Zahlen bezogen ist: 0 und 6 sind lokale Extrema, die anderen sind global   ─   bogar 18.12.2021 um 20:59

Passt das jetzt?   ─   bogar 18.12.2021 um 21:00

Nein, auf den reellen Zahlen würde die Funktion vermutlich nach oben weitergehen. Da man nicht weiß, wie der Funktionsgraph außerdem des Intervalls aussieht, kann man da keine Aussage machen. Das ist aber auch völlig uninteressant, da das ja gar nicht gefragt ist.

Mir ist aber gerade ein kleiner Fehler aufgefallen: Randextrema sind natürlich keine lokalen Extrema, da es keine Umgebung gibt, die im Definitionsbereich liegt. Sie können (!) globale Extrema sein.
  ─   cauchy 18.12.2021 um 21:07

Das habe ich doch die ganze Zeit gemeint   ─   bogar 18.12.2021 um 21:09

Jetzt bin ich total durcheinander und verwirrt   ─   bogar 18.12.2021 um 21:09

Nein. Bei dir war die ganze Zeit davon die Rede, dass die Randwerte höher sein könnten, was aber gar keine Rolle spielt, weil es um genau das geht, was du anhand des Funktionsgraphen siehst. Und da alle Maxima gleich hoch sind, sind sie alle global, da es keine größeren Funktionswerte in dem Intervall gibt.   ─   cauchy 18.12.2021 um 21:11

Ja, genau, das passt jetzt   ─   bogar 18.12.2021 um 21:13

Und bezüglich der reellen Zahlen (das gehört auch zur Aufgabenstellung dazu), dann passt alles?   ─   bogar 18.12.2021 um 21:14

Du weißt aber doch gar nicht, wie der Funktionsgraph außerhalb des Intervalls aussieht. Wie willst du das dann beurteilen? Man kann halt nur "erahnen", dass der Funktionsgraph in beiden Richtungen weiter steigt ins Unendliche. Dann gibt es natürlich kein globales Maximum.   ─   cauchy 18.12.2021 um 21:16

Eben, also sind Sie dann lokal   ─   bogar 18.12.2021 um 21:18

Intervall: Maxima sind alle global und lokal
Reelle Zahlen: Hochpunkt = global und lokal, Randextrema = lokal
  ─   bogar 18.12.2021 um 21:19

So hätte ich das aufgeschrieben   ─   bogar 18.12.2021 um 21:19

Das ist aber völlig falsch. Wenn du die Funktion auf den reellen Zahlen betrachtest hast du keine Randextrema, weil es ja keinen Rand gibt. Das sagte ich weiter oben aber schon mal. Und der Hochpunkt ist dann auch nicht global, weil der Funktionsgraph außerdem des Intervalls vermutlich weiter ansteigt, so dass der Hochpunkt nur noch lokal ist.

Und beim Intervall hatte ich gerade noch korrigiert, dass Randextrema nur global sein können, nicht aber lokal sind.

Anhand dessen, was du aufschreiben wolltest, ist klar, dass du den Unterschied zwischen global und lokal doch nicht verstanden hast. Du machst das einfach noch zu sehr davon abhängig, ob es ein Intervall gibt oder die Funktion auf den reellen Zahlen definiert ist. Dabei musst du dir eigentlich immer nur den Graphen anschauen. "Hügel und Täler" sind immer lokal. Der größte Hügel bzw. das tiefste Tal ist global, wenn es auf dem gesamten Definitionsbereich keine größeren oder tieferen Punkte gibt. Bei Intervallen kann so etwas am Rand passieren. Dann hat man Randextrema. Randextrema sind immer und nur global. Wichtig: das gilt für Randextrema, nicht allgemein für Randpunkte! Zeichne mal einen Funktionsgraphen, dessen Randpunkte keine Extrema sind.

Betrachtet man den Funktionsgraphen auf den reellen Zahlen, kann es sein, dass es keine globalen Extrema gibt, weil der Graph ins Unendliche verläuft, sowohl positiv als auch negativ. Dazu muss man zusätzlich den Verlauf des Graphen kennen.
  ─   cauchy 18.12.2021 um 21:27

Ich habe das jetzt komplett verstanden! Unsere Lehrerin hat uns das Falsche zum Mitschreiben diktiert, deshalb war ich verwirrt, aber jetzt passt alles. Danke nochmals!   ─   bogar 19.12.2021 um 13:56

Ah, sehr gut.   ─   cauchy 19.12.2021 um 14:02

Entschuldigung, ich habe eine weitere Frage gepostet bezüglich des Einzeichnen einer Tangente und wollte fragen, ob Sie mir das bitte erklären könnten, da Ihre Erklärungen sehr verständlich sind?   ─   bogar 19.12.2021 um 14:04

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