Skizze hilft immer. Nimm als Ebene mal die x-y-Ebene aufgespannt von den Einheitsvektoren (damit's einfach zu zeichnen ist) und dann projiziere einen beliebigen Vektor x dort drauf und erhalte eine Projektion p. Dann siehst Du, dass x-p senkrecht auf der Ebene stehen muss. x-p ergänzt also die beiden Basisvektoren zu einer Orthogonalbasis. Daran siehst Du, dass p der Teil ist, der beim Gram-Schmidt-Verfahren von x subtrahiert wird, also die Summe.
Denk das in Ruhe durch und überzeuge Dich davon, dass es so ist. Damit ist dann klar, was zu tun ist.