Wie bestimme ich davon die Potenzreihenentwicklung im Ursprung

Aufrufe: 595     Aktiv: 07.01.2021 um 22:55
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$$a^{2}-\frac{a^{2}}{(a+1)^{2}}$$

Ich habe es dann so umgeschrieben: $$=a^{2}-(\frac{a}{(a+1)})^{2}$$

Aber das ist ja keine Potenzreihe, oder? Der Exponnent ist ja kein Laufindex bzw. verändert sich nicht.

Wie bestimme ich also davon die Potenzreihenentwicklung im Ursprung und en Konvergenzradius?

 

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Der Faktor a^2 ist harmlos, den bringt man immer unter. Schauen wir also auf \(\frac1{(1+a)^2}\).

Vorgehen:

1. Bestimme eine Stammfunktion zu diesem Ausdruck.

2. Diese Stammfunktion lässt sich leicht in eine geometrische Reihe entwickeln.

3. Leite diese Reihe ab (summandenweise, wie bei Reihen üblich). Dann haben wir eine Reihe für \(\frac1{(1+a)^2}\).

4. Bringe nun den noch fehlenden Rest ein (Differenz 1-...., dann alles mal a^2).

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Die Reihe für $$\frac{1}{(a+1)^{2}}=\sum \limits_{k=0}^{\infty}(k+1)(-a)^k$$
Was mache ich dann mit dem a^2 am Anfang?
Kann ich dann einfach schon die ersten paar Reihenglieder ausschreiben? Mein Konvergenzradius wäre hier ja dann r=1 oder?   ─   lia2105 07.01.2021 um 19:44
Das müsste jetzt glaube ich richtig sein:
$$\sum \limits_{k=0}^{\infty}(1-(k+1)(-a)^k)*a^{2}$$   ─   lia2105 07.01.2021 um 21:09
Von wo bekomme ich die zusätzliche -1? Durch Indexverschiebung?   ─   lia2105 07.01.2021 um 22:16
Ja genau der ist ist eins. Dann kann ich die 1 vorne wegstreichen und meine Reihe sieht dann so aus. Der Laufindex beginnt dann bei 1: $$a^{2}*\sum \limits_{k=1}^{\infty}(k+1)(-a)^k$$   ─   lia2105 07.01.2021 um 22:44
Alles klar! Vielen Dank!   ─   lia2105 07.01.2021 um 22:55

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