Hallo,

\(D(G)=[0;12]\) bedeutet, dass sich der Definitionsbereich (welche Werte für \(x\) eingesetzt werden dürfen) der Funktion \(G\) auf die Werte 0 bis 12 beschränkt. 
\([0;12]\) ist gleichbedeutend mit \(0 \leq x \leq 12\); bitte nicht mit den geschweiften Klammern verwechseln.

Im Folgenden ist die Gewinnfunktion gegeben, plottet man sich die Funktion, erhält man folgendes Schaubild:

Sie berechnet sich, indem man von der Erlösfunktion die Kostenfunktion subtrahiert und gibt den möglichen Gewinn in Abhängigkeit von der verkauften Menge an.

Die Ableitung der Funktion ist die Grenzgewinnfunktion, die angibt, um wie viel der Gewinn pro verkaufter Einheit mehr steigt.

\(G'(x)=0 \rightarrow x_1=4 - 3 \sqrt{1.5},\: x_2=4 + 3 \sqrt{1.5}\)

Für die Lösung mit positivem Vorzeichen existiert an dieser Stelle ein Maximum, für die mit negativem ein Minimum. 

Somit beträgt die gewinnmaximale Produktionsmenge \(x=4 + 3 \sqrt{1.5}\), die gewinnminimale \(x=4 - 3 \sqrt{1.5}\).

Der maximale Grenzgewinn ist das Maximum der Grenzgewinnfunktion.

\(G''(x)=24-6x,\, G^{(3)}=-6 \longrightarrow G''(x)=0 \rightarrow x_3=4\)

Somit existiert für \(x=4\) der maximale Grenzgewinn (auf die Kontrolle mit den Intervallgrenzen wird verzichtet).

Es ließe sich noch Gewinnmaximum bzw. -minimum bestimmen. Hierbei nicht nur die gefundenen Werte der Ableitung in \(G\) einsetzen, sondern auch, wie im Plot zu sehen ist, die Intervallgrenzen beachten.

\(G(0) =-98 \\
G(x_1)\approx -99.2\\
G(x_2)\approx 99.2\\
G(12)=-188\)

Somit liegt das Gewinnminimum bei \(x=12\) und das Gewinnmaximum bei \(x=x_2\).