Matrix vereinfachbar?

Aufrufe: 217     Aktiv: 05.04.2022 um 10:17

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Hi,
Wenn man z.B. die Matrix (B Inverse * A) und dann nochmal die Klammer Inverse.
Schritt 1: Inverse von B berechnen
Schritt 2: Das Ergebnis mit A multiplizieren
Schritt 3: Inverse des Ergebnis berechnen

Muss man hier wirklich zweimal invertieren oder kann man das irgendwie vereinfachen?
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Benutze die Regel $(C\cdot D)^{-1}=D^{-1}\cdot C^{-1}$.
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wenn man nach deiner Gleichung mit C und D geht, wäre bei mir in der Klammer das C Inverse. Daher bin ich mir nicht sicher ob das gilt. also sprich C inverse mal D. und dann nochmal die Klammer inverse   ─   anonyme1060 03.04.2022 um 15:11

Die Regel gilt immer! Setze also für $C$ und $D$ einfach deine Matrizen ein und rechne. es aus.   ─   cauchy 03.04.2022 um 15:33

(C^-1⋅D)^−1
das wäre meine Gleichung
  ─   anonyme1060 03.04.2022 um 16:32

Das ist keine Gleichung (ich sehe kein =-Zeichen), und C und D kommen in Deiner Frage oben ja gar nicht vor. Um die Regel anzuwenden, musst Du C und D so festlegen, dass es zu dem Ausdruck in Deiner Frage passt. Also?   ─   mikn 03.04.2022 um 17:23

ich glaube wir reden aneinander vorbei. ich möchte die Matrix (C^-1⋅D)^−1 berechnen. Meine Frage ist ob man diesen Ausdruck vereinfachen kann um Rechenschritte zu sparen. oder ob ich erst C invertieren muss. dann mit D multiplizieren, um dann das Ergebnis nochmal zu invertieren. Das kostet sehr viel zeit da man 2x invertieren muss. daher frage ich ob es hier einen Trick gibt um Schritte zu sparen   ─   anonyme1060 03.04.2022 um 17:54

Oben steht das mit A und B. Willst Du den Term mit A,B oder C,D berechnen?
Wenn Du jetzt (C^-1⋅D)^−1 berechnen willst, empfehle ich Dir die Regel $(E\cdot F)^{-1}=F^{-1}\cdot E^{-1}$.
Es macht auch keinen Sinn, Deine Frage nochmal zu stellen, wir haben sie schon verstanden. Und jetzt die Bezeichnungen zu wechseln, und dann noch die für andere Zwecke gedachten aus meinem Tipp zu verwenden, hilft auch nicht.
Du solltest die von mir genannte Regel anwenden, für geschickt gewähltes C,D.
  ─   mikn 03.04.2022 um 18:05

ich verstehe irgendwie nicht was du meinst. Ob die Matrix A,B,C,D,E oder F heißt, sollte egal sein. ich verstehe auch nicht wie ich die Formel anwenden soll. in deiner Formel sind beide Matrixen in der Klammer nicht invertiert. In meinem Beispiel ist eine der beiden Matrizen in der Klammer invertiert. Ich weiß nicht wie ich deine Formel für mein Beispiel anwenden soll.   ─   anonyme1060 03.04.2022 um 18:15

ich verstehe auch nicht wie ich von C und D auf E und F kommen soll   ─   anonyme1060 03.04.2022 um 18:23

\(E=C^{-1}\) und \(F=D\)   ─   mathejean 03.04.2022 um 18:27

Natürlich ist es egal. Du fragtest aber nun die Frage anders als ganz oben, und ich verstehe nicht warum.
Ich hab Dir eine Regel für die Inverse des Produkts zweier Matrizen genannt. Um die anzuwenden, musst Du ein Produkt zweier Matrizen in Deiner Frage finden.
  ─   mikn 03.04.2022 um 18:29

ja ich habe eine Inverse Matrix C und eine Matrix D, die multipliziert werden. Dieses Ergebnis soll dann nochmal invertiert werden.
Ich habe also ein Produkt aus der Inverse Matrix C und einer nicht invertierten Matrix D.
  ─   anonyme1060 03.04.2022 um 18:38

Ja, und die Regel für das Inverse eines Produkts zweier Matrizen steht in der Antwort. Du musst deine Matrizen nur einsetzen...   ─   cauchy 03.04.2022 um 22:06

Habe ich eventuell etwas in meiner Frage vergessen? ich habe zwei gegebene Matrizen, nennen wir sie C und D, und soll aus diesen Matrizen die Matrix (C Inverse * D)Inverse berechnen. Dann würde ich als Laie jetzt als erstes von der gegebenen Matrix C die Inverse berechnen. Dann würde ich dieses Ergebnis mit der gegebenen Matrix D multiplizieren. Als letzten Schritt dieses Ergebnis invertieren und dann habe ich die Lösung. Meine Frage ist ob man diese Operationen vereinfachen kann, um Zeit zu sparen. In meinen Operationen müsste ich zweimal invertieren, was sehr viel Zeit kostet.
Wenn die Aufgabenstellung wäre, man solle C Inverse * D Inverse berechnen, dann wüsste ich eure Formel anzuwenden. Anstatt beide Matrizen zu invertieren und dann zu multiplizieren, würde ich sie multipliizieren und dann das Ergebnis einmal invertieren. Ich müsste also nur einmal invertieren, anstelle von zweimal.
Wie diese Formel mir bei meiner Aufgabenstellung helfen soll, verstehe ich aber nicht. Evtl stehe ich auf dem Schlauch...
  ─   anonyme1060 04.04.2022 um 09:32

@anonyme schau doch mal was ich geschrieben habe, genau das machst du   ─   mathejean 04.04.2022 um 09:46

meinst du, ich soll aus der Inverse C eine "normale" Matrix E berechnen?   ─   anonyme1060 04.04.2022 um 09:49

Du sollst in die Formel \((EF)^{-1}=F^{-1}E^{-1}\) für \(E\) einfach \(C^{-1}\) einsetzen und für \(F\) einfach \(D\), du musst dann nur herausfinden, was \((C^{-1})^{-1}\) ist   ─   mathejean 04.04.2022 um 09:51

irgendwie verstehe ich es nicht. ich komme nicht auf dasselbe Ergebnis.
Ich verstehe dass C Inverse Inverse wieder C ist. Meinst du also ich sollte C * D Inverse rechnen? Egal wie ich rechne, es kommt nie dasselbe Ergebnis heraus. daher weiß ich nicht welcher Rechenweg der richtige ist.
  ─   anonyme1060 04.04.2022 um 10:38

Du hast es jetzt fast, in der Lösung kommt \(C\) und \(D^{-1}\) vor, aber achte auf die Reihenfolge! Schreibe einfach mal auf ein Blatt \((EF)^{-1}=F^{-1}E^{-1}\) und schreibe das dadtrunter genau ab und schreibe dabei statt \(E\) immer \(C^{-1}\) und statt \(F\) immer \(D\), dann kommt auch das richtige heraus! Wenn du das endlich hast zeige ich dir auch wie du das ganz schnell überprüfen kannst!   ─   mathejean 04.04.2022 um 11:38

ich glaube jetzt habe ich es: ich rechne C Inverse * D ?   ─   anonyme1060 04.04.2022 um 12:33

Jetzt kommt aber kein \(D^{-1}\) und \(C\) mehr vor. Ich gebe dir mal den Tipp: Ist \(A^{-1}\) das Inverse von \(A\), dann ist \(AA^{-1}=E_n\) Einheitsmatrix. Was musst du an \(C^{-1}D\) ranmultiplizieren, damit die Einheitsmatrix rauskommt. Arbeite bitte mit \(D^{-1}\) und \(C\)   ─   mathejean 04.04.2022 um 12:36

ich würde von links C multiplizieren und von rechts D Inverse   ─   anonyme1060 04.04.2022 um 12:51

Du musst aber entweder von links oder von rechts multiplizieren. Lass uns von rechts multiplizieren. \(D^{-1}\) ist richtig! Wir haben dann also \(C^{-1}DD^{-1}=C^{-1}\), was jetzt von rechts multiplizieren? Wir sind so kurz vor der Lösung, nicht aufgeben!   ─   mathejean 04.04.2022 um 13:07

ich würde mit C multiplizieren   ─   anonyme1060 04.04.2022 um 14:01

Sehr gut! Es ist also \((C^{-1}D)(D^{-1}C)=E_n\) Einheitsmatrix, was ist also \((C^{-1}D)^{-1}\)?   ─   mathejean 04.04.2022 um 17:04

D Inverse * C ?   ─   anonyme1060 04.04.2022 um 17:49

So ist es! Überprüfe es doch gerne mal in dem du dies von links ranmultiplizierst und schaust ob die Einheitsmatrix rauskommt. Ich hoffe du nimmst viel aus dieser Aufgabe mit.   ─   mathejean 04.04.2022 um 18:58

danke dir!   ─   anonyme1060 05.04.2022 um 10:17

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