Der Trick ist hier, zu schreiben \begin{align*}N^2&=\int_{-\infty}^\infty\exp\left(-\frac12x^2\right)\,\mathrm dx\int_{-\infty}^\infty\exp\left(-\frac12x^2\right)\,\mathrm dx=\int_{-\infty}^\infty\exp\left(-\frac12x^2\right)\,\mathrm dx\int_{-\infty}^\infty\exp\left(-\frac12y^2\right)\,\mathrm dy\\&=\int_{-\infty}^\infty\int_{-\infty}^\infty\exp\left(-\frac12x^2\right)\exp\left(-\frac12y^2\right)\,\mathrm dx\,\mathrm dy=\int_{\mathbb R^2}\exp\left(-\frac12(x^2+y^2)\right)\,\mathrm d(x,y)\end{align*} Dabei wurde zuerst im zweiten Integral das $x$ durch $y$ vertauscht, das ist einfach nur eine Umbenennung. Dann kann man mit dem Satz von Fubini die Integrale zu einem zweidimensionalen verbinden, welches du jetzt mit Polarkoordinaten lösen kannst.