Was ist das Quadrat eines Integrales?

Aufrufe: 52     Aktiv: 20.06.2021 um 13:38

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Hallo,
wir sollen in einem Übungsblatt (Gaußsche Fehlerfunktion)

berechnen (kommt sqrt(2pi) raus), indem wir N^2 berechnen. Dies führt anscheinend auf eine zweidimensionale Ebene, in der wir durch die geeignete Wahl von Polarkoord. & Integrationsgrenzen auf ein Ergbnis (sollte dann 2pi sein) kommen, dessen Wurzel dann das obige Integral ist.

Nun meine Frage: Wie berechnet man N^2, oder allg. N^k mit k >= 2 ? Liefert das dx^k und man substituiert die Polarkoordinaten danach? Bin etwas ratlos...

Vielen Dank für eure Hilfe!
Jonathan
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Der Trick ist hier, zu schreiben \begin{align*}N^2&=\int_{-\infty}^\infty\exp\left(-\frac12x^2\right)\,\mathrm dx\int_{-\infty}^\infty\exp\left(-\frac12x^2\right)\,\mathrm dx=\int_{-\infty}^\infty\exp\left(-\frac12x^2\right)\,\mathrm dx\int_{-\infty}^\infty\exp\left(-\frac12y^2\right)\,\mathrm dy\\&=\int_{-\infty}^\infty\int_{-\infty}^\infty\exp\left(-\frac12x^2\right)\exp\left(-\frac12y^2\right)\,\mathrm dx\,\mathrm dy=\int_{\mathbb R^2}\exp\left(-\frac12(x^2+y^2)\right)\,\mathrm d(x,y)\end{align*} Dabei wurde zuerst im zweiten Integral das $x$ durch $y$ vertauscht, das ist einfach nur eine Umbenennung. Dann kann man mit dem Satz von Fubini die Integrale zu einem zweidimensionalen verbinden, welches du jetzt mit Polarkoordinaten lösen kannst.
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