Wenn du nach dem Definitionsbereich suchst, suchst du oft/meist erstmal nach den Nullstellen: Das ist nämlich ein Indikator für eine Vorzeichenwechsel und damit der Möglichkeit, dass negative Bereiche erreicht werden, die wir hier gar nicht wollen.

Dein Ansatz ist also erstmal gar nicht schlecht. Merken wir uns \(x \geq -16\) und untersuchen deinen weiterhin richtigen Ansatz \(x + \sqrt{x+16} \geq 0\) (vereinfacht mit einer Gleichung statt einer Ungleichung).

\(\sqrt{x+16} = -x\)

Quadrieren auf beiden Seiten

\(x+16 = x^2\)

Alles nach rechts und pq-Formel anwenden.

\(x_{1,2} = \frac12 \pm \frac{\sqrt{65}}{2}\)

Die Probe verrät, dass nur \(x_1 = \frac12 - \frac{\sqrt{65}}{2} \approx -3,53\) Lösung ist.

Da wir vereinfacht mit einer Gleichung gerechnet haben, müssen wir noch das richtige Ungleichheitszeichen finden, indem wir bspw. x = 0 in die obige Gleichung einsetzen und feststellen, dass das erfüllt ist. Mit anderen Worten, der Bereich welcher größer ist als \(x_1\) ist der gesuchte.

Insgesamt suchen wir dann tatsächlich auch den Definitionsbereich \(D = [x_1;\infty)\). (Der Bereich zwischen \(-16\) und \(x_1\) enfällt, da ja die Doppelwurzel \(\geq 0\) sein muss und nicht nur die innere Wurzel).

Für den zweiten Teil geht man genauso vor. Da kann man es eigentlich sogar direkt erkennen. Links muss \(x \geq 0\) sein. Rechts \(x \geq 1\). Also nimmt man für den Definitionsberiech \(D = [1;\infty)\)

Hi, anonym vielleicht hilft das:

Die Wurzelgleichung \( \sqrt{x+16} = -x \) hat nur eine Lösung
Das kannst Du Dir veranschaulichen, wenn Du Dir z.B mit Geogebra die Funktion  mit der Gleichung f(x) =  \( x+\sqrt{x+16} \)
ausdruckst. Hier kannst Du auch deutlich den gesuchten Definitionsbereich ungefähr ablesen.

D=[ca. 3,5 bis + unendlich[

Die quadratische Gleichung \( x+16 = x^2   \) dagegen hat zwei Lösungen. Eine davon ist durch das Quadrieren zusätzlich erzeugt worden. Das sieht man auch, wenn man Funktion mit der Gleichung \(g(x) =  x^2-x-16\) in das vorhandene KS einzeichnen lässt: