Gleichungen

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Hallo Leute,

kann mir jemand bitte erklären, wie man auf die Definitionsmenge bei j und i kommt? Kann mir das jmd verständlich und leicht erklären? Denn hier ist ja eine Doppelwurzel und wie soll das funktionieren? 

gefragt 2 Monate, 1 Woche her
anonym
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2 Antworten
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Wenn du nach dem Definitionsbereich suchst, suchst du oft/meist erstmal nach den Nullstellen: Das ist nämlich ein Indikator für eine Vorzeichenwechsel und damit der Möglichkeit, dass negative Bereiche erreicht werden, die wir hier gar nicht wollen.

Dein Ansatz ist also erstmal gar nicht schlecht. Merken wir uns \(x \geq -16\) und untersuchen deinen weiterhin richtigen Ansatz \(x + \sqrt{x+16} \geq 0\) (vereinfacht mit einer Gleichung statt einer Ungleichung).

 

\(\sqrt{x+16} = -x\)

Quadrieren auf beiden Seiten

\(x+16 = x^2\)

Alles nach rechts und pq-Formel anwenden.

\(x_{1,2} = \frac12 \pm \frac{\sqrt{65}}{2}\)

Die Probe verrät, dass nur \(x_1 = \frac12 - \frac{\sqrt{65}}{2} \approx -3,53\) Lösung ist.

Da wir vereinfacht mit einer Gleichung gerechnet haben, müssen wir noch das richtige Ungleichheitszeichen finden, indem wir bspw. x = 0 in die obige Gleichung einsetzen und feststellen, dass das erfüllt ist. Mit anderen Worten, der Bereich welcher größer ist als \(x_1\) ist der gesuchte.

Insgesamt suchen wir dann tatsächlich auch den Definitionsbereich \(D = [x_1;\infty)\). (Der Bereich zwischen \(-16\) und \(x_1\) enfällt, da ja die Doppelwurzel \(\geq 0\) sein muss und nicht nur die innere Wurzel).

 

Für den zweiten Teil geht man genauso vor. Da kann man es eigentlich sogar direkt erkennen. Links muss \(x \geq 0\) sein. Rechts \(x \geq 1\). Also nimmt man für den Definitionsberiech \(D = [1;\infty)\)

geantwortet 2 Monate, 1 Woche her
orthando
Punkte: 6.88K
 

Erstmals vielen vielen Dank für die Erklärung! Ich verstehe aber nicht warum wir mit dem negativen Vorzeichen rechnen anstatt mit dem positiven, also warum - wurzel65/2 und nicht + wurzel65. Muss ich dann nicht mit x-3,53 größer gleich 0 weiterreichen, da ich ja n doppelwurzel habe?   ─   anonym 2 Monate, 1 Woche her

Wenn du mit Wurzeln und Quadrieren arbeitest, dann musst du am Ende überprüfen, ob du Scheinlösungen erschaffen hast. Überprüfen tust du das über eine Probe und in der Tat wird mit \(+\frac{\sqrt{65}}{2}\) eine falsche Lösung hinzugefügt. Übrig bleibt dann nur noch \(x_1 = \frac12 - \frac{\sqrt{65}}{2} \approx -3,53\)

Überprüfe das Ergebnis: wenn du in die innere Wurzel etwa -3.5 einsetzt, erhältst du 12,5 für die innere Wurzel. Daraus nun die Wurzel gezogen und wir erhalten wieder etwa 3.5. Solange nun das x in der äußeren Wurzel größer ist als -3,5 ist alles in Ordnung :).
  ─   orthando 2 Monate, 1 Woche her

Sry, aber ich verstehs immer noch nicht. Ich hab ja als Lösung √65/4 +1/2
da kommen 2 Lösungen raus, minus und plus. Aber wie soll ich nun die Definitionsmenge bestimmen? könntest du vllt. deinen Rechenweg aufschreiben, damit ichs dann besser nachvollziehen kann?
  ─   anonym 2 Monate her

Also die Lösung ist ja -3,53. Aber wie soll ich die Definitionsmenge bestimmen?   ─   anonym 2 Monate her

Mein Lösungsweg steht doch da. Du musst ihn nur mal in Ruhe durchlesen. Auch warum deine Lösung nicht gilt steht im Kommentar. Wenn du nicht spezifisch den Finger auf dein Verständnisproblem legen kannst, kann ich da nicht zielführend weiterhelfen.   ─   orthando 2 Monate her

@orthando, ich hatte davor nen Denkfehler :) ich glaube jetzt hab ichs verstanden. Die wurzel muss ja immer größer gleich null sein x1=-3,53 daher muss x1 größer gleich -3,53 sein, also def.bereich ist dann: (-3,53, unendlich)   ─   anonym 2 Monate her
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Hi, anonym vielleicht hilft das:

Die Wurzelgleichung \( \sqrt{x+16} = -x \) hat nur eine Lösung
Das kannst Du Dir veranschaulichen, wenn Du Dir z.B mit Geogebra die Funktion  mit der Gleichung f(x) =  \( x+\sqrt{x+16} \)
ausdruckst. Hier kannst Du auch deutlich den gesuchten Definitionsbereich ungefähr ablesen.

D=[ca. 3,5 bis + unendlich[

Die quadratische Gleichung \( x+16 = x^2   \) dagegen hat zwei Lösungen. Eine davon ist durch das Quadrieren zusätzlich erzeugt worden. Das sieht man auch, wenn man Funktion mit der Gleichung \(g(x) =  x^2-x-16\) in das vorhandene KS einzeichnen lässt:

geantwortet 2 Monate her
xx1943
Punkte: 787
 

Achh, danke. Wir dürfen zwar kein Geogebra verwenden, aber so ist es verständlicher. Da ja die Wurzel immer größer gleich 0 sein muss, ist die Df.menge: x größer gleich -3,53 also (-3,53, unendlich) ?   ─   anonym 2 Monate her
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