(Twitter)
Ich bin aktuell bei der f. Ich habe einen Ansatz komme jedoch nicht weiter. Ich muss beweisen, dass die Funktion I(a) streng Monoton fallend ist. Ich würde dies gerne mithilfe der Funktionsterme beweisen. I(a) ist durch das Integral fa(t) mit den oberen und unteren Intregrationsgrenzen gekennzeichnet. I(0) kann ich weglassen, da I(0) =0 gilt. Ich kann die Monotonie mithilfe von der ersten Ableitung beweisen also I'(a). Es gilt ja für Normal I(a)= F(wurzel aus 0,5a). Jetzt komme ich aber nicht mehr weiter... Wenn ich 0,5a in meiner wurzel Funktions einsetze, kommt da raus: 1/20 mal wurzel (0.5a)^5-1/12 mal a mal wurzel(0.5a)^3. Was mache ich aber jetzt??
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Man muss in der Tat zeigen, dass \(I'(a)<0\) ist.
Ich definiere hierzu \(F_a(x) = \int_0^x f_a(t) \,dt\).
\(F_a\) ist eine Stammfunktion von \(f_a\), also gilt
\(F'_a(x) = f_a(x)\) (1)
Setze \(g(a) = \sqrt{a/2}\). (2)
\(g(a)\) ist die Obergrenze des Integrals.
Dann ist \(I(a) = F(g(a))\).
Jetzt kann man auf diese Gleichung die Kettenregel anwenden: \(I'(a) = F'(g(a)) \cdot g'(a)\).
Jetzt kann man die beiden Faktoren auf der rechten Seite ausrechnen. Da ergibt sich: Der erste Faktor ist stets negativ, und der zweite stets positiv.
Ich definiere hierzu \(F_a(x) = \int_0^x f_a(t) \,dt\).
\(F_a\) ist eine Stammfunktion von \(f_a\), also gilt
\(F'_a(x) = f_a(x)\) (1)
Setze \(g(a) = \sqrt{a/2}\). (2)
\(g(a)\) ist die Obergrenze des Integrals.
Dann ist \(I(a) = F(g(a))\).
Jetzt kann man auf diese Gleichung die Kettenregel anwenden: \(I'(a) = F'(g(a)) \cdot g'(a)\).
Jetzt kann man die beiden Faktoren auf der rechten Seite ausrechnen. Da ergibt sich: Der erste Faktor ist stets negativ, und der zweite stets positiv.
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m.simon.539
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