Es wird schon mit der Offenheit des Komplements gehen, das ist aber technisch anspruchsvoller als die Abgeschlossenheit direkt zu zeigen. Sollte letzteres in Frage kommen, muss man zeigen, dass für jede Folge in S, die konvergiert, der Grenzwert auch wieder in S liegt. Schaffst Du das?
Über Offenheit des Komplements: Sei \(x\in R^2\setminus S\). Dann hat \(x\) einen Abstand \(d>0\) zu \(S\) (könnte man ausrechnen, \(S\) ist ja ein Kreis). Dann gilt für die Kugel \(B(x,\frac{d}2)\subset R^2\setminus S\). Also ist \(R^2\setminus S\) offen. Das müsste man aber je nach Anspruch noch genauer ausführen, das war jetzt die Beweisidee (Skizze hilft).
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Vielen Dank. Das Ganze ist dann doch recht unkompliziert. Danke für die detaillierte Beschreibung des Vorgangs. Habe auf jeden Fall etwas dazu gelernt. ─ philipp1887 19.06.2020 um 16:31
Danke nochmals für die Unterstützung. ─ philipp1887 19.06.2020 um 16:47
Die passende Definition zu deinem Vorschlag habe ich jetzt erst kürzlich gefunden. Ich gehe jetzt auch davon aus, dass die Intention bei dieser Aufgabe war, eben genau diesen Ansatz zu wählen.
Leider habe ich kein Beispiel gefunden, wie man diese Definition anwendet. Wie sehen alle Folgen aus S aus und wie behandle ich diese?
LG ─ philipp1887 18.06.2020 um 19:34