Beweis zur Abgeschlossenheit einer Teilmenge

Aufrufe: 1623     Aktiv: 19.06.2020 um 16:47

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Hallo,

ich bearbeite gerade die folgende Aufgabe:

Um dies zu zeigen, möchte ich zeigen, dass die Menge R^2 ohne S offen ist. 

Kann mir jemand verraten, wie ich da konkret vorangehen muss? Es gibt verschiedene Ansätze die Aufgabe zu lösen. Wenn es jedoch mit Hilfe des Beweises zur Offenheit des Komplements geht, möchte ich das gerne so lösen. Intuitiv ist es leicht zu verstehen, dass die oben genannte Menge abgeschlossen ist. Ich bekomme es nur nicht auf's Papier.

 

LG

Philipp

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Es wird schon mit der Offenheit des Komplements gehen, das ist aber technisch anspruchsvoller als die Abgeschlossenheit direkt zu zeigen. Sollte letzteres in Frage kommen, muss man zeigen, dass für jede Folge in S, die konvergiert, der Grenzwert auch wieder in S liegt. Schaffst Du das?

Über Offenheit des Komplements: Sei \(x\in R^2\setminus S\). Dann hat \(x\) einen Abstand \(d>0\) zu \(S\) (könnte man ausrechnen, \(S\) ist ja ein Kreis). Dann gilt für die Kugel \(B(x,\frac{d}2)\subset R^2\setminus S\). Also ist \(R^2\setminus S\) offen. Das müsste man aber je nach Anspruch noch genauer ausführen, das war jetzt die Beweisidee (Skizze hilft).

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Lehrer/Professor, Punkte: 39.36K

 

Zunächst einmal Danke für deine Antwort.
Die passende Definition zu deinem Vorschlag habe ich jetzt erst kürzlich gefunden. Ich gehe jetzt auch davon aus, dass die Intention bei dieser Aufgabe war, eben genau diesen Ansatz zu wählen.
Leider habe ich kein Beispiel gefunden, wie man diese Definition anwendet. Wie sehen alle Folgen aus S aus und wie behandle ich diese?
LG
  ─   philipp1887 18.06.2020 um 19:34

Oh.
Vielen Dank. Das Ganze ist dann doch recht unkompliziert. Danke für die detaillierte Beschreibung des Vorgangs. Habe auf jeden Fall etwas dazu gelernt.
  ─   philipp1887 19.06.2020 um 16:31

Das Abgreifen von Lösungen wird mir bei meiner Klausur nicht sonderlich viel nützen.
Danke nochmals für die Unterstützung.
  ─   philipp1887 19.06.2020 um 16:47

Leider scheint diese Antwort Unstimmigkeiten zu enthalten und muss korrigiert werden. Mikn wurde bereits informiert.
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Falls man die Offenheit des Komplements zeigen möchte:

Definiere die Funktion \( f: \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}, (x,y) \to x^2 + y^2 \) und \( M_1 =\{ (x,y) \in \mathbb{R} \vert f(x,y) \in (1, \infty) \} \) sowie \( M_2 =\{ (x,y) \in \mathbb{R} \vert f(x,y) \in (- \infty, 1) \} \).

\(M_1\) ist offen, denn: Sei \( (x,y) \in M_1 \), also \( f(x,y) \in (1,\infty) \). Wegen der Stetigkeit von \(f\) und der Offenheit von \((1, \infty)\) finden wir zu einem hinreichend kleinen \( \varepsilon > 0 \) ein \( \delta > 0 \) mit \( f(B_{\delta}(x,y)) \subset B_{\varepsilon}(f(x,y)) \subset (1, \infty) \), also \(B_{\delta} (x,y) \subset M_1\).

Analog zeigt man die Offenheit von \(M_2\).

Das Komplement ist nun als Vereinigung der offenen Mengen \(M_1\) und \(M_2\) offen.

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Student, Punkte: 7.05K

 

Danke für deinen Vorschlag.
Ich kann zwar deine Lösung nachvollziehen, aber auf so einen Lösungsweg würde ich (noch) nicht selber kommen.
Vielen Dank :)
  ─   philipp1887 19.06.2020 um 16:45

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