Hallo,

auch wenn es scheint das alles verstanden wurde, will ich trotzdem noch einmal etwas dazuschreiben. Es geht vermutlich darum das Restglied über 

$$ |R_{n}f(x;a)|=\left|{\frac {f^{(n+1)}(\xi )}{(n+1)!}}(x-x_0)^{n+1}\right|\leq \sup _{\xi \in (\mathrm{min}(x,x_0),\mathrm{max}(x,x_0))}\left|{\frac {f^{(n+1)}(\xi )}{(n+1)!}}(x-x_0)^{n+1}\right| $$ 

zu bestimmen. Nun bekommt man meistens zuerst Funktionen wie den Sinus oder Kosinus vorgesetzt und diese sind beschränkt. Die obere Schranke kann also ganz allgemein bestimmt werden und so ein maximaler Fehler der Funktion angegeben werden.

Dies funktioniert allerdings nicht bei allen Funktionen. Bei allen anderen Funktionen wird das Restglied erstmal allgemein in Abhängigkeit von \( \xi \) bestimmt. 

Beispielsweise ist das Restglied der Exponentialfunktion für \( n = 3 \)

$$ \left| \frac {e^{\xi}} {24} (x-x_0)^4 \right| $$

Das Restglied kann erstmal nicht weiter bestimmt werden. Da aber die Taylorentwicklung am besten um \( x_0 \) approximiert könnten wir jetzt beispielsweise sagen, wir wollen wissen wie "hoch" der Fehler an der Stelle \( x=1 \) ist. Nehmen wir noch an der Entwicklungspunkt sei \( x_0 =  0\), dann würden wir den Fehler

$$ \frac {e^\xi} {24} (1-0)^4 = \frac {e^\xi} {24} $$

Dies ist nun eine Funktion in Abhängigkeit von \( \xi \in ( \min(x,x_0), \max(x,x_0) ) = (0,1) \). Da die Exponentialfunktion monoton steigend ist, ist der maximale Fehler bei \( \xi = 1 \) und wir erhalten

$$ R_4(1) =  \frac {e^1} {24} \approx 0{,}113  $$

Wenn du magst kannst du testweise mal den maximalen Fehler an der Stelle \( x=-1 \) bestimmen. Ich gucke gerne nochmal drüber.

Du siehst also, das nicht zu jeder Funktion einfach eine obere Schranke gefunden werden kann. Bei Funktionen bei denen das nicht geht, ist der Fehler abhängig vom Entwicklungspunkt und betrachter Stelle.
Man kann auch für Funktionen wie den Sinus erstmal allgemein eine Funktion finden die den Fehler beschreibt. Wenn wir die Ganze Funktion durch die obere Schanke \( 1 \) abschätzen, haben wir nur einen maximalen Fehler. Dieser kann aber je nach betrachteter Stelle wesentlich kleiner ausfallen als durch diese Abschätzung berechnet. 

Grüße Christian