Verständnisfrage: Fläche zwischen zwei Funktionen

Aufrufe: 689     Aktiv: 16.05.2022 um 23:17
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Bei einer Fläche zwischen zwei Graphen spielt es keine Rolle, ob diese "über" die X-Achse verläuft. 
Warum ist das so? Wenn ich Flächen zwischen einer Funktion und der X-Achse berechne, erhalte ich für Werte unter der X-Achse negative Werte und für Flächen oberhalb der X-Achse positive Werte. Das bestimmte Integral gibt mir somit die Flächenbilanz an (verrechnet positive und negative Werte). Falls ich demnach die Fläche berechnen möchte, muss ich die Nullstellen berechnen und danach die Integrale entsprechend aufteilen.

Meine Frage: Warum wird dies bei Flächen zwischen zwei Funktionen nicht berücksichtigt bzw. warum ist dieser Unterschied nicht relevant? 

Zur Veranschaulichung noch ein Bild, wobei die Fläche zwischen dem Graphen "über" die X-Achse verläuft:

Hier würde ich ja einfach die Schnittstellen berechnen und danach das bestimmte Integral von der Differenzenfunktion bilden? Kommt dann ebenfalls die Flächenbilanz raus? Es ist ja die Fläche zwischen den beiden Funktionen gefragt und nicht die Flächenbilanz...
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Auch bei Flächen zwischen Graphen gibt es solche Punkte, an denen man aufpassen muss. Hier sind es nicht die Schnittpunkte mit der x-Achse,  sondern die der beiden Kurven.

Was die Nullstelle betrifft, du rechnest ja "obere minus untere"  Kurve.

Fall 1, beide liegen über der x-Achse,  berechnet wird die Fläche unterhalb der oberen K. bis zur x-Achse , davon abgezogen wird die Fläche unterhalb der unteren K. bis  zur x-Achse.  Beide Werte sind  positiv, der für die obere Kurve ist größer  (z.B. 5 minus 3=2 .)

Fall 2 beide liegen unterhalb der x-Achse,  bei der oberen käme nun ein orientierter Flächeninhalt von -3 heraus, bei der unteren -5, Rechnung -3 - (-5)=2

Fall 3 ein Graph oben, der andere unterhalb der x-Achse,  oben +5, unten -3 und heraus kommt 5-(-3)=8, die dazwischen liegende Fläche ist ja auch größer 
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Schau dir mal den Graphen der Differenzfunktion an, das sollte deine Frage klären. Die Differenz ist ja unabhängig davon, ob die Graphen (bzw. die eingeschlossenen Flächen) oberhalb, unterhalb oder teilweise unter bzw. oberhalb der $x$-Achse verlaufen. Man kann auch einfach beide Graphen so verschieben, dass die Flächen vollständig oberhalb liegen. Ändert ja an der Fläche nichts.
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