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Prüfe, ob die Nullmatrix in der Menge ist. Wenn das nicht der Fall ist, dann ist die Menge schonmal kein Unterraum.
Wenn die Nullmatrix in der Menge liegt, musst du noch überprüfen, ob die Menge unter Addition und Skalarmultiplikation abgeschlossen ist. Nimm dir also \(A,B\) aus der Menge und \(\lambda\in\mathbb R\) und überpüfe, ob \(A+B\) und \(\lambda A\) wieder in der Menge liegen. Kannst du beides beweisen, dann ist die Menge ein Unterraum. Findest du auch nur ein einzelnes Gegenbeispiel, ist das nicht der Fall.
Wenn die Nullmatrix in der Menge liegt, musst du noch überprüfen, ob die Menge unter Addition und Skalarmultiplikation abgeschlossen ist. Nimm dir also \(A,B\) aus der Menge und \(\lambda\in\mathbb R\) und überpüfe, ob \(A+B\) und \(\lambda A\) wieder in der Menge liegen. Kannst du beides beweisen, dann ist die Menge ein Unterraum. Findest du auch nur ein einzelnes Gegenbeispiel, ist das nicht der Fall.
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stal
Punkte: 11.27K
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Vielen Dank! Jedoch verstehe ich nicht ganz wie ich hier konkret die Abgeschlossenheit beweise. Können Sie mir das vielleicht an einem der Beispiele zeigen?
─
userf85f9f
21.05.2021 um 15:54
Nehmen wir mal \(S_1\). Offensichtlich ist die Nullmatrix in \(S_1\), denn die Einträge in der ersten Zeile sind beide \(0\) und damit gleich. Seien nun \(A,B\in S_1\), also $$A=\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22}\end{pmatrix},\quad B=\begin{pmatrix}b_{11}&b_{12}\\b_{21}&b_{22}\end{pmatrix}$$ mit \(a_{11}=a_{12}\) und \(b_{11}=b_{12}\). Dann gilt $$A+B=A=\begin{pmatrix}a_{11}+b_{11}&a_{12}+b_{12}\\a_{21}+b_{21}&a_{22}+b_{22}\end{pmatrix}$$ und es gilt \(a_{11}+b_{11}=a_{12}+b_{12}\). Also sind die Einträge in der ersten Zeile wieder gleich und es gilt \(A+B\in S_1\).
Versuche selbst zu zeigen, dass \(\lambda A\in S_1\) für ein \(\lambda\in\mathbb R\) gilt, das geht nach dem gleichen Prinzip, aber fast noch einfacher. ─ stal 21.05.2021 um 16:23
Versuche selbst zu zeigen, dass \(\lambda A\in S_1\) für ein \(\lambda\in\mathbb R\) gilt, das geht nach dem gleichen Prinzip, aber fast noch einfacher. ─ stal 21.05.2021 um 16:23
Vielen Dank, ich konnte die Aufgabe mit der Hilfestellung lösen. LG
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userf85f9f
21.05.2021 um 18:51