Warum ist cos(-x)=cos(x) ?

Aufrufe: 109     Aktiv: 16.07.2022 um 22:23

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Hallo,
ich mache gerade Aufgaben zur Symetrie. Aber ich verstehe nicht, warum cos(-x)=cos(x) , da sin(-x)=-sin(x).
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Wie habt ihr denn Sinus und Cosinus definiert? Über die (komplexe) Exponential oder als Reihe?   ─   mathejean 16.07.2022 um 18:35
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Dann überlege dir, warum $\sin(-x) =- \sin(x) $ ist. Das ist jedenfalls nicht die Begründung, weshalb das beim Kosinus auch so sein sollte. Die Eigenschaft für den Kosinus lässt sich aber ähnlich begründen. Hier hilft wie immer eine Skizze am Einheitskreis.
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Man kann das schon als Begründung verwenden - beide Seiten ableiten.   ─   mikn 16.07.2022 um 20:11

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1) mathejean hat es schon gesagt: Komplexe Definition der Funktionen durch e-Funktionen und testen, was mit -x passiert. Beispiel:
\(sin(x) = \frac{1}{2i}(e^{ix}-e^{-ix})\)
\(sin(-x) = \frac{1}{2i}(e^{-ix}-e^{ix}) = -sin(x)\)
dasselbe mit Cos:
\(cos(x)=\frac{1}{2}(e^{ix}+e^{-ix})\)

2) Reihenentwicklung, was genau genommen dasselbe ist. Hier einfach im Internet suchen.
3) Ableitung: Sinus ist symmetrisch und die Steigung bei \(x=0\) ist 1.
4) Einheitskreis und die Definition, wie sie in der Schule eingeführt wurde (bei 0 Grad anfangen und dann gegen den Uhrzeigersinn rotieren).
5) Jegliche andere Funktion deren Bestandteil cos(x) ist, bsp \(tan(x)=\frac{sin(x)}{cos(x)}\). \(tan(x)\) ist antisymmetrisch. Was sagt dies über Cos(x) aus?
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Die Aussage in 3) ist entweder ungenau formuliert oder falsch. Denn die Steigung des Sinus bei x=0 ist 1.
Zu 5) Stimmt nicht: $(\cos(x))^2\cdot x^2$ ist nicht antisymmetrisch. Trifft also für "jegliche andere Funktion" nicht zu.
  ─   joergwausw 16.07.2022 um 21:01

Wow, willst du mir sagen, dass eine ungerade Funktion zum quadrat nicht mehr gerade ist? Aber ja, mit der Steigung liegst du völlig richtig. Zweck der 5) war es lediglich zu zeigen, dass man anhand anderer Funktionen auf ursprüngliche Eigenschaften schließen kann.   ─   dragonbaron 16.07.2022 um 21:28

Zunächst: Ich finde es gut, dass Du Dir Mühe gibst, hier Antworten beizutragen, und ich möchte Dich ermutigen, das auch weiterhin zu tun. Ich habe auch schon Antworten geschrieben, zu denen ich Kommentare bekommen habe, weil ich etwas falsch erklärt habe (ich hatte in der Frage was wichtiges übersehen, oder ich war schlicht auf dem Holzweg und habe ziemlichen Mist geschrieben, oder habe bloß einen Tippfehler gemacht...). Das passiert jedem. Ich helfe hier, wenn ich Zeit habe - zuletzt nicht so viel - auch deshalb, weil ich selbst etwas dabei lerne. Denn ich muss darauf achten, wie ich es aufschreibe, damit alles richtig ist und damit es verstanden wird.

Ich habe Dich auf die Probleme in Deiner Antwort aufmerksam gemacht, weil Du nicht wissen kannst, welchen Teil der Antwort vom Fragenden behalten oder (vermeintlich) verstanden wird. Der wird sich nicht nur die richtigen Sätze raussuchen und die falschen wird er nicht zwangsläufig ignorieren können. Deshalb dient so ein Hinweis als Hilfe für den Frager und für den Antworter. (...und ich meine hier mit der männlichen Form alle Geschlechter)

Genug der Vorrede, jetzt meine Antwort zu Deinem Kommentar:

Nein, das habe ich nicht gesagt. In meinem Beispiel ist der Cosinus ein Bestandteil und mein Beispiel ist nicht antisymmetrisch. Du hast aber gesagt, dass eine (jegliche!) Funktion immer antisymmetrisch ist, wenn es den Cosinus enthält.

$cos(x)\cdot e^x$ wäre auch ein geeignetes Beispiel für eine Funktion, die Deine Aussage 5) in der Antwort widerlegt. Sie ist nicht antisymmetrisch, obwohl sie den Cosinus enthält.

Was Du vielleicht meinst, sind solche Funktionen, die mit Hilfe des Kosinus definiert werden können und eine Symmetrie besitzen (2 starke Einschränkungen im Gegensatz zu "jegliche"), so wie der Tangens in deinem Beispiel. Wenn der Tangens aber so wie dargestellt definiert wird, dann wird die Symmetrie des Tangens üblicherweise aus der bekannten Symmetrie der definierenden Funktionen hergeleitet und nicht umgekehrt.
Oder Du meinst, dass eine Funktion mit Symmetrie ihre Symmetrie-Art nicht ändert, wenn man sie mit cos(x) multipliziert. Das folgt aber eigentlich wiederum per Definition daraus, dass der Cosinus gerade ist...

Das Beispiel selbst ist völlig ok, weil in der Frage die Antisymmetrie des Sinus als bekannt vorausgesetzt wird (die vom Tangens aber nicht, aber das kann man ja für dieses Beispiel voraussetzen) - aber die "Verpackung" war mathematisch nicht eindeutig richtig.
  ─   joergwausw 16.07.2022 um 22:23

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