Der Trick ist die Umformung $$\sqrt{n^2+1}-\sqrt{n^2-1}=\frac{(\sqrt{n^2+1}-\sqrt{n^2-1})(\sqrt{n^2+1}+\sqrt{n^2-1})}{\sqrt{n^2+1}+\sqrt{n^2-1}}=\frac2{\sqrt{n^2+1}+\sqrt{n^2-1}}$$ Den Nenner kann man jetzt noch geeignet abschätzen, z.B. $\sqrt{n^2+1}\leq\sqrt{n^2+3n^2}=2n$ (das ist extrem ineffizient, aber dafür sind die Zahlen schöner) und $\sqrt{n^2-1}\leq\sqrt{n^2}=n$, sodass wir insgesamt $$\sqrt{n^2+1}-\sqrt{n^2-1}\geq\frac2{2n+n}=\frac2{3n}$$ erhalten. Verwende jetzt das Minorantenkriterium.