In deiner Beispielrechnung gibt's magische Verwandlungen von s in -s, und auch in der abstrakten Beschreibung liest sich manches ein bisschen durcheinander ("t muss = t sein" ?!). Aber man erkennt genug, um sagen zu können: Was Du da machst, ist genau quadratische Ergänzung.

Nur dass Du die nötigen Verschiebungswerte in der quadratischen Ergänzung eben mit "Ansatz und Koeffizientenvergleich" ermittelst, während die klassische quadratische Ergänzung "die binomische Formel im Kopf durchgeht" und deshalb gleich den richtigen Summanden unter dem Quadrat ergänzt, der den linearen Term zum Verschwinden bringt.

Der Einfachheit halber ohne konstanten Term: Wenn ein quadratisches normiertes Polynom \( x^2 + px + q \) gegeben ist und ich den linearen Term loswerden will, ersetze ich \( x^2 \) durch \( (x + \text{irgendwas})^2 \), wobei ich "irgendwas" so bestimme, dass die binomische Formel mir den Summanden px herbeizaubert. Das gelingt mit dem Ausdruck \( (x+\frac p2)^2 \), weil der mittlere Term der binomischen Formel hier \( 2x\cdot \frac p2 = px \) liefert, wie gewünscht. Allerdings liefert die binomische Formel ja dann noch einen überschüssigen dritten Summanden, nämlich \( \frac {p^2}4 \), und den muss ich von Hand ausgleichen. Also: \( x^2 + px +q \) = \( (x+\frac p2)^2 + (q - \frac {p^2}4) \).

Aber, wie gesagt: Ob man das (wie Du) mit Koeffizientenvergleich & Ausrechnen findet, oder (wie das wohl meistens gemacht wird, wenn man "quadratische Ergänzung" sagt) einfach "durch scharfes Ansehen der binomischen Formel" direkt die richtigen Werte hinschreibt, macht keinen Unterschied.