Quadratisches Ergänzen (erfüllt welchen Zweck?)

Aufrufe: 71     Aktiv: 25.03.2021 um 00:36

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Ich habe in der Schule den Sinn vom quadratischen Ergänzen auch nie verstanden. Es geht darum, ein Polynomfunktion 2. Grades in eine Scheitelpunktform umzutransferieren. Hierzu meine Frage: gegeben sei: a * x^(2) + b *x^(2) + c (durch polynombedingt eindeutig bestimmten Koeffizienten), wäre es nicht sinnvoller zu sagen := p(x) := a * x^(2) + b *x + c = a * (x - s)^(2) + t => p(x)  = a * (x^(2) - 2*x*s * s^(2)) + t => a * x^(2) + b* x + c = a * x^(2) + 2 * a * x * s + a * s ^(2)  + t, dann kann a leicht aufgelöst werden, 2* a* x* s ist a eingesetzt, s muss zu Polynom bestimmt werden, dann ist a und s bestimmt und t muss = t sein.
Ist für mich logischer und schlüssiger, deshalb meine Frage, für was brauche ich diese quadratischen Ergänzungsschritte, die ich aus nachvollziehbarer Sicht sowieso nicht verstehe?

Noch ein kurzes Beispiel: 8x^(2) + 4 * x + 3 = a (x - s)^(2) + t = a*x^(2) + 2 * a * x* s + a*s^(2) + t (a = 8) => 2 * 8 * s * x (s = 1/4) weiterführend muss t = 2.5 sein


Vielen, vielen Dank schon mal :)
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In deiner Beispielrechnung gibt's magische Verwandlungen von s in -s, und auch in der abstrakten Beschreibung liest sich manches ein bisschen durcheinander ("t muss = t sein" ?!). Aber man erkennt genug, um sagen zu können: Was Du da machst, ist genau quadratische Ergänzung.

Nur dass Du die nötigen Verschiebungswerte in der quadratischen Ergänzung eben mit "Ansatz und Koeffizientenvergleich" ermittelst, während die klassische quadratische Ergänzung "die binomische Formel im Kopf durchgeht" und deshalb gleich den richtigen Summanden unter dem Quadrat ergänzt, der den linearen Term zum Verschwinden bringt.

Der Einfachheit halber ohne konstanten Term: Wenn ein quadratisches normiertes Polynom \( x^2 + px + q \) gegeben ist und ich den linearen Term loswerden will, ersetze ich \( x^2 \) durch \( (x + \text{irgendwas})^2 \), wobei ich "irgendwas" so bestimme, dass die binomische Formel mir den Summanden px herbeizaubert. Das gelingt mit dem Ausdruck \( (x+\frac p2)^2 \), weil der mittlere Term der binomischen Formel hier \( 2x\cdot \frac p2 = px \) liefert, wie gewünscht. Allerdings liefert die binomische Formel ja dann noch einen überschüssigen dritten Summanden, nämlich \( \frac {p^2}4 \), und den muss ich von Hand ausgleichen. Also: \( x^2 + px +q \) = \( (x+\frac p2)^2 + (q - \frac {p^2}4) \).

Aber, wie gesagt: Ob man das (wie Du) mit Koeffizientenvergleich & Ausrechnen findet, oder (wie das wohl meistens gemacht wird, wenn man "quadratische Ergänzung" sagt) einfach "durch scharfes Ansehen der binomischen Formel" direkt die richtigen Werte hinschreibt, macht keinen Unterschied.
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