Logarithmus

Aufrufe: 783     Aktiv: 18.03.2020 um 13:17
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Wie kann ich bei einfachen Gleichungen mit Potenzen den Exponent ohne Taschenrechner berechnen?

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Schüler, Punkte: 15

 
Hi!
Hättest Du eine Beispielaufgabe, ich bin mir nämlich nicht sicher was Du meinst..
Meinst Du sowas; \(3^{n}=81\) berechne \(n\)?
Viele Grüße,
MoNil   ─   monil 18.03.2020 um 10:18
Ja. 2 hoch x = 128. Wie komme ich ohne Taschenrechner auf das x?   ─   luna2015 18.03.2020 um 10:21
Indem Du 128 so lange durch 2 teilst bis eine 2 dasteht:
\(128 : 2 = 64,\\
64 : 2 = 32,\\
32 : 2 = 16,\\
16 : 2 = 8,\\
8:2 = 4,\\
4:2=2\) fertig. Man hat 6 mal durch 2 geteilt, d.h. \(x=6\).
Das funktioniert aber nur bei "schönen" Aufgaben so schön...   ─   monil 18.03.2020 um 10:25
Danke, aber wie du sagst, das funktioniert nur bei schönen Aufgaben. Wie mache ich das bei z.b O,5 hoch x =0,0625 oder bei (1/6) hoch x = 1/216 ?   ─   luna2015 18.03.2020 um 10:30
Da gehts auch => siehe meine Antwort (ich update gleich)   ─   monil 18.03.2020 um 10:37
Okay, vielen Dank   ─   luna2015 18.03.2020 um 10:40
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1 Antwort
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[EDIT: meinen Fehler korrigiert auf den sterecht im ersten Kommentar hingewiesen hat.]

Ich schreibs nochmal als Antwort, nicht als Kommentar:

Bei \(2^{x} = 128\) teilst Du solange durch 2 bis 1 rauskommt:

\(128:2 = 64\\64:2=32\\32:2=16\\16:2=8\\8:2=4\\4:2=2\\2:2=1\)

Wir zählen, dass wir das sieben Mal gemacht haben, d.h. \(x=7\)

nächste Gleichung:

\((0,5)^x = 0,0625\).

Los gehts (geteilt durch \(\frac{1}{2}\) ist wie "mal 2":

\(0,0625 \cdot 2 = 0,125\\ 0,125 \cdot 2=0,25\\ 0,25 \cdot 2=0,5\\0,5\cdot 2=1\) Also ist \(x=4\)

Auf was kommst Du denn bei \(\frac{1}{6}^{x} = \frac{1}{216}\)?

"Unschöne" Aufgaben sind \(2^{x}=5\).. Kannst ja mal ausprobieren ;-)

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Die Antworten sind leider immer um eins zu niedrig. \(128=2^7\), \(0,0625=0,5^4\). Man muss das Verfahren solange machen, bis man bei 1 angekommen ist, nicht bei der Basis.   ─   sterecht 18.03.2020 um 10:53
Ja, natürlich! sterecht hat recht.   ─   monil 18.03.2020 um 10:58
Was mache ich wenn ich vor der Basis noch nh Zahl habe? (Sorry wenn das total die dummen Fragen sind aber muss mir das wegen Corona selber beibringen ;) )
Bsp.: 120 × 2 hoch x =5.000.000   ─   luna2015 18.03.2020 um 10:58
\(3\cdot 2^{x} = 384\), Erst beide Seiten durch die davor stehende Zahl teilen, also \(3\cdot 2^{x}:3 = 384:3\) wird zu \(2^{x} = 128\) Dann rechnen wie gehabt und sterechts Einwand beachten... Bis zu 1 teilen.   ─   monil 18.03.2020 um 11:01
Dann teilst du als erstes beide Seiten durch diese Zahl und kommst zu \(2^x=\frac {125000}3\). Hier wirst du aber nicht eine einfache ganzzahlige Lösung finden, das geht ohne Taschenrechner nicht.   ─   sterecht 18.03.2020 um 11:02
Also bei meinem Beispiel klappt das irgendwie nicht.
120 x 2 hoch x = 5.000.000 /:120
2 hoch x = 41666.66666666
Dann immer durch 2 bis 1 raus kommt.
Nach 15 mal :2 kommt bei mir dann ungefähr 1,27 raus. Gebe ich im Taschenrechner 120 × 2 hoch 15 ein kommt allerdings nur 3.932.160 raus.
Wo liegt der Fehler?   ─   luna2015 18.03.2020 um 11:08
Achso ok danke   ─   luna2015 18.03.2020 um 11:09
Sorry hatte Deine BspAufgabe mit den 120x2 hoch x nicht gesehen. Hast Du Dir die ausgedacht oder sollst Du das von der Schule aus ohne Taschenrechner rechnen?   ─   monil 18.03.2020 um 11:11
Sollte die von der schule aus rechnen und soweit es geht ohne Taschenrechner. Hab jetzt bei beidem nh Lösung, ohne TR ist halt sehr ungenau, danke für eure Hilfe!!   ─   luna2015 18.03.2020 um 11:21
Warum hat 8 hoch x = -512 keine Lösung?   ─   luna2015 18.03.2020 um 11:51
Naja \(8^{x}\) heißt doch einfach nur \(8\cdot 8\cdot 8 \cdot....\) mit insgesamt x-vielen 8ern. Die sind aber alle positiv und wenn Du positive Zahlen miteinander multiplizierst, dann ist das Ergebnis auch immer positiv... Alles klar?!   ─   monil 18.03.2020 um 13:17

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