Alles klar. Wir haben also die Reihe $\sum_{n=0}^\infty c_n$, wobei $c_n=\sum_{k=0}^n\frac{(-1)^n}{\sqrt{(k+1)(n-k+1)}}$ und wollen zeigen, dass diese divergiert. Ein Kriterium dafür ist eben, dass $\lim_{n\to\infty}c_n\neq 0$. In der Website wird gezeigt, dass $\lim_{n\to\infty}|c_n|\geq 1$, was ausreicht um zu zeigen, dass der Limes nicht 0 sein kann; denn wäre der Limes 0, dann müsste auch der Betrag der $c_n$ gegen $0$ gehen. Der Betrag wurde hier genommen, damit das $(-1)^n$ wegfällt, die Aufgabe ist nun also, $\sum_{k=0}^n\frac1{\sqrt{(k+1)(n-k+1)}}$ für große $n$ abzuschätzen. Dazu wird die Ungleichung vom arithmetischen und geometrischen Mittel verwendet, nämlich $\frac{a+b}2\geq\sqrt{ab}$ für alle $a,b>0$. Daraus folgt $\frac1{\sqrt{ab}}\geq\frac2{a+b}$ und mit $a=k+1,b=n-k+1$ erhalten wir die Abschätzung $$|c_n|=\sum_{k=0}^n\frac1{\sqrt{(k+1)(n-k+1)}}\geq\sum_{k=0}^n\frac2{(k+1)+(n-k+1)}=\sum_{k=0}^n\frac2{n+2}$$ Jetzt hängt der Summand gar nicht mehr von $k$ ab, das heißt wir summieren einfach $\frac2{n+2}+\ldots+\frac2{n+2}$, und zwar $n+1$ mal, also kommt man insgesamt auf $\frac{2(n+1)}{n+2}$, was sicher größer als $1$ ist. Also ist $|c_n|\geq1$ für alle $n$, dann gilt das insbesondere auch für den Grenzwert.