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Student, Punkte: 37

 

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Wenn du die Reihe \(\sum_{k=0}^\infty a_k\) gegeben hast, musst du zeigen, dass entweder der Grenzwert \(\lim_{k\to\infty}a_k\) nicht existiert oder gleich einer Zahl ungleich \(0\) ist. Je nach Reihe kann das offensichtlich, eine einfache Rechnung, extrem kompliziert oder ein ungelöstes Problem sein, deshalb ist es schwer, mehr in so allgemeinem Kontext zu sagen. Hast du vielleicht eine konkrete Aufgabe im Kopf, über die wir reden können?   ─   stal 04.06.2021 um 09:53

Die \(\sum_{n=1}^n \frac{1}{n^2}\) ist keine Nullfolge, aber konvergent   ─   gerdware 04.06.2021 um 13:37

Aber \((\frac1{n^2})_{n\in\mathbb N}\) ist eine Nullfolge. Wenn eine Reihe konvergiert, dann ist die Folge der Summanden eine Nullfolge.   ─   stal 04.06.2021 um 16:25

steht aber so im Titel   ─   gerdware 04.06.2021 um 17:22

Ja, die Frage ist unglücklich formuliert. Der Fragesteller hatte aber einen Link dazu, der jetzt weg ist.   ─   stal 04.06.2021 um 19:16

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Alles klar. Wir haben also die Reihe \(\sum_{n=0}^\infty c_n\), wobei \(c_n=\sum_{k=0}^n\frac{(-1)^n}{\sqrt{(k+1)(n-k+1)}}\) und wollen zeigen, dass diese divergiert. Ein Kriterium dafür ist eben, dass \(\lim_{n\to\infty}c_n\neq 0\). In der Website wird gezeigt, dass \(\lim_{n\to\infty}|c_n|\geq 1\), was ausreicht um zu zeigen, dass der Limes nicht 0 sein kann; denn wäre der Limes 0, dann müsste auch der Betrag der \(c_n\) gegen \(0\) gehen. Der Betrag wurde hier genommen, damit das \((-1)^n\) wegfällt, die Aufgabe ist nun also, \(\sum_{k=0}^n\frac1{\sqrt{(k+1)(n-k+1)}}\) für große \(n\) abzuschätzen. Dazu wird die Ungleichung vom arithmetischen und geometrischen Mittel verwendet, nämlich \(\frac{a+b}2\geq\sqrt{ab}\) für alle \(a,b>0\). Daraus folgt \(\frac1{\sqrt{ab}}\geq\frac2{a+b}\) und mit \(a=k+1,b=n-k+1\) erhalten wir die Abschätzung $$|c_n|=\sum_{k=0}^n\frac1{\sqrt{(k+1)(n-k+1)}}\geq\sum_{k=0}^n\frac2{(k+1)+(n-k+1)}=\sum_{k=0}^n\frac2{n+2}$$ Jetzt hängt der Summand gar nicht mehr von \(k\) ab, das heißt wir summieren einfach \(\frac2{n+2}+\ldots+\frac2{n+2}\), und zwar \(n+1\) mal, also kommt man insgesamt auf \(\frac{2(n+1)}{n+2}\), was sicher größer als \(1\) ist. Also ist \(|c_n|\geq1\) für alle \(n\), dann gilt das insbesondere auch für den Grenzwert.
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