Alles klar. Wir haben also die Reihe \(\sum_{n=0}^\infty c_n\), wobei \(c_n=\sum_{k=0}^n\frac{(-1)^n}{\sqrt{(k+1)(n-k+1)}}\) und wollen zeigen, dass diese divergiert. Ein Kriterium dafür ist eben, dass \(\lim_{n\to\infty}c_n\neq 0\). In der Website wird gezeigt, dass \(\lim_{n\to\infty}|c_n|\geq 1\), was ausreicht um zu zeigen, dass der Limes nicht 0 sein kann; denn wäre der Limes 0, dann müsste auch der Betrag der \(c_n\) gegen \(0\) gehen. Der Betrag wurde hier genommen, damit das \((-1)^n\) wegfällt, die Aufgabe ist nun also, \(\sum_{k=0}^n\frac1{\sqrt{(k+1)(n-k+1)}}\) für große \(n\) abzuschätzen. Dazu wird die Ungleichung vom arithmetischen und geometrischen Mittel verwendet, nämlich \(\frac{a+b}2\geq\sqrt{ab}\) für alle \(a,b>0\). Daraus folgt \(\frac1{\sqrt{ab}}\geq\frac2{a+b}\) und mit \(a=k+1,b=n-k+1\) erhalten wir die Abschätzung $$|c_n|=\sum_{k=0}^n\frac1{\sqrt{(k+1)(n-k+1)}}\geq\sum_{k=0}^n\frac2{(k+1)+(n-k+1)}=\sum_{k=0}^n\frac2{n+2}$$ Jetzt hängt der Summand gar nicht mehr von \(k\) ab, das heißt wir summieren einfach \(\frac2{n+2}+\ldots+\frac2{n+2}\), und zwar \(n+1\) mal, also kommt man insgesamt auf \(\frac{2(n+1)}{n+2}\), was sicher größer als \(1\) ist. Also ist \(|c_n|\geq1\) für alle \(n\), dann gilt das insbesondere auch für den Grenzwert.