Spezialfall Sinussatz: Beweis?

Aufrufe: 641     Aktiv: 24.06.2022 um 00:42

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Mir ist aufgefallen, dass es beim Sinussatz immer zwei Lösungen gibt, wenn der Winkel der kürzeren der beiden gegebenen Seiten gegenüberliegt. Kann man dies noch mathematisch beweisen? Mir fällt ein, dass gilt: sin(a) = sin(180-a). Weil die y-Winkel zusammen ja 180° ergeben.

EDIT vom 22.06.2022 um 22:50:

Voraussetzung und Behauptung des Beweises

EDIT vom 22.06.2022 um 23:17:

@mikn: Meine Gleichung wäre: y= arcsin((c*sin(a)/a))
sprich sin(a)/a = sin(y)/c nach y umgeformt.

EDIT vom 23.06.2022 um 08:46:

@mikn
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Punkte: 222

 

Habe es als EDIT hinzugefügt. Mir ist es schwer gefallen, die Behauptung mathematisch zu schreiben. Entweder ist gamma stumpf oder spitz, die Seite c ändert sich dann entsprechend. Wenn gamma stumpf ist, muss die Seite c länger werden.   ─   nas17 22.06.2022 um 22:53

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Danke für das Lob! Freut mich sehr :)
Seit ich aktiv im Forum bin kann ich von Mathe nicht mehr genug haben. Ich habe das Gefühl, dass Eure Faszination ansteckend ist. :D Mir gefällt es, dass ich hier auch die Hintergründe erfahre und über den Schulstoff hinaus fragen kann (diesen Beweis müsste ich beispielsweise nicht können, er interessiert mich aber).
  ─   nas17 22.06.2022 um 23:14

Ich habe die zu lösende Gleichung als EDIT vermerkt. War das so gemeint? :)   ─   nas17 22.06.2022 um 23:45

Habe die Skizze als EDIT hochgeladen.   ─   nas17 23.06.2022 um 08:47
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1 Antwort
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So, das hast Du jetzt sehr schön aufgeschrieben.
Und ja, da gibt es zwei Lösungen für $\alpha$.
Im folgenden verwende ich alle Bezeichnungen aus Deinem letzten Edit sowie den weiteren Punkt $C'$ aus Deinem ersten post.
Zeichnerisch würde man es so lösen: Zeichne die Strecke $c=\overline{AB}$, zeichne bei $A$ eine Gerade im Winkel $\alpha$ zur Strecke $\overline{AB}$. Schlage nun einen Kreis um $B$ mit Radius $a$, dieser Kreis schneidet diese Gerade zweimal, einmal in $C$, einmal in $C'$. Gibt also zwei mögliche Dreiecke.
Rechnerisch: Wir haben $\sin\gamma = \frac{c}a\sin \alpha$. Die Anwendung von $\arcsin$ auf beiden Seiten liefert eine Lösung für $\alpha$, die andere ist $\alpha'=180^\circ-\alpha$, das hast Du ja schon gemerkt. $\alpha'$ ist der Winkel bei $C'$. Und das kann man auch am Bild sehen, denn:
Das Dreieck $BCC'$ ist gleichschenklig, also ist der Winkel bei $C'$ gleich dem Innenwinkel im Dreieck $BCC'$ bei $C$, dieser ist aber der Nebenwinkel zu $\alpha$, ergänzt sich also mit dem zu $180^\circ$.
Sehr schön, wie gründlich Du das durchdacht hast.
Merke also generell: Das Auflösen mit $\arcsin$ liefert zwar eine Lösung, es kann aber durchaus noch andere geben. Dazu muss man die konkrete Situation anschauen (die den Definitionsbereich bestimmt, also welche Lösungen überhaupt in Frage kommen).

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Lehrer/Professor, Punkte: 39.35K

 

Vielen Dank für die ausführliche und strukturierte Erklärung! Hat mir sehr geholfen. :)   ─   nas17 23.06.2022 um 15:41

Ignoriere diesen Kommentar, bin gerade am Latex ausprobieren: $$\sqrt{2-x}$$
EDIT: Funktioniert super. Habe das Dokument gesucht, welches Du zu Latex verlinkt hast (weiss nicht mehr, unter welcher Frage das war). Habe nun gemerkt, dass ich die $$ setzen muss, damit der Code übertragen wird.
  ─   nas17 23.06.2022 um 22:35

Besten Dank :)   ─   nas17 23.06.2022 um 22:46

Stimmt, habe es danach gemerkt. Habe insgeheim gehofft, dass ich noch einen Link erhalte. Hat funktioniert. ;)   ─   nas17 23.06.2022 um 22:53

Genau den habe ich gemeint. Die verlinkte Frage ist auch sehr hilfreich.
Danke! Werde ich mir anschauen. :)
  ─   nas17 23.06.2022 um 23:02

Wirklich beeindruckend, was dieser Mann geleistet hat!   ─   nas17 23.06.2022 um 23:22

Leider scheint diese Antwort Unstimmigkeiten zu enthalten und muss korrigiert werden. Mikn wurde bereits informiert.