So, das hast Du jetzt sehr schön aufgeschrieben.
Und ja, da gibt es zwei Lösungen für $\alpha$.
Im folgenden verwende ich alle Bezeichnungen aus Deinem letzten Edit sowie den weiteren Punkt $C'$ aus Deinem ersten post.
Zeichnerisch würde man es so lösen: Zeichne die Strecke $c=\overline{AB}$, zeichne bei $A$ eine Gerade im Winkel $\alpha$ zur Strecke $\overline{AB}$. Schlage nun einen Kreis um $B$ mit Radius $a$, dieser Kreis schneidet diese Gerade zweimal, einmal in $C$, einmal in $C'$. Gibt also zwei mögliche Dreiecke.
Rechnerisch: Wir haben $\sin\gamma = \frac{c}a\sin \alpha$. Die Anwendung von $\arcsin$ auf beiden Seiten liefert eine Lösung für $\alpha$, die andere ist $\alpha'=180^\circ-\alpha$, das hast Du ja schon gemerkt. $\alpha'$ ist der Winkel bei $C'$. Und das kann man auch am Bild sehen, denn:
Das Dreieck $BCC'$ ist gleichschenklig, also ist der Winkel bei $C'$ gleich dem Innenwinkel im Dreieck $BCC'$ bei $C$, dieser ist aber der Nebenwinkel zu $\alpha$, ergänzt sich also mit dem zu $180^\circ$.
Sehr schön, wie gründlich Du das durchdacht hast.
Merke also generell: Das Auflösen mit $\arcsin$ liefert zwar eine Lösung, es kann aber durchaus noch andere geben. Dazu muss man die konkrete Situation anschauen (die den Definitionsbereich bestimmt, also welche Lösungen überhaupt in Frage kommen).