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So, das hast Du jetzt sehr schön aufgeschrieben.
Und ja, da gibt es zwei Lösungen für $\alpha$.
Im folgenden verwende ich alle Bezeichnungen aus Deinem letzten Edit sowie den weiteren Punkt $C'$ aus Deinem ersten post.
Zeichnerisch würde man es so lösen: Zeichne die Strecke $c=\overline{AB}$, zeichne bei $A$ eine Gerade im Winkel $\alpha$ zur Strecke $\overline{AB}$. Schlage nun einen Kreis um $B$ mit Radius $a$, dieser Kreis schneidet diese Gerade zweimal, einmal in $C$, einmal in $C'$. Gibt also zwei mögliche Dreiecke.
Rechnerisch: Wir haben $\sin\gamma = \frac{c}a\sin \alpha$. Die Anwendung von $\arcsin$ auf beiden Seiten liefert eine Lösung für $\alpha$, die andere ist $\alpha'=180^\circ-\alpha$, das hast Du ja schon gemerkt. $\alpha'$ ist der Winkel bei $C'$. Und das kann man auch am Bild sehen, denn:
Das Dreieck $BCC'$ ist gleichschenklig, also ist der Winkel bei $C'$ gleich dem Innenwinkel im Dreieck $BCC'$ bei $C$, dieser ist aber der Nebenwinkel zu $\alpha$, ergänzt sich also mit dem zu $180^\circ$.
Sehr schön, wie gründlich Du das durchdacht hast.
Merke also generell: Das Auflösen mit $\arcsin$ liefert zwar eine Lösung, es kann aber durchaus noch andere geben. Dazu muss man die konkrete Situation anschauen (die den Definitionsbereich bestimmt, also welche Lösungen überhaupt in Frage kommen).
Und ja, da gibt es zwei Lösungen für $\alpha$.
Im folgenden verwende ich alle Bezeichnungen aus Deinem letzten Edit sowie den weiteren Punkt $C'$ aus Deinem ersten post.
Zeichnerisch würde man es so lösen: Zeichne die Strecke $c=\overline{AB}$, zeichne bei $A$ eine Gerade im Winkel $\alpha$ zur Strecke $\overline{AB}$. Schlage nun einen Kreis um $B$ mit Radius $a$, dieser Kreis schneidet diese Gerade zweimal, einmal in $C$, einmal in $C'$. Gibt also zwei mögliche Dreiecke.
Rechnerisch: Wir haben $\sin\gamma = \frac{c}a\sin \alpha$. Die Anwendung von $\arcsin$ auf beiden Seiten liefert eine Lösung für $\alpha$, die andere ist $\alpha'=180^\circ-\alpha$, das hast Du ja schon gemerkt. $\alpha'$ ist der Winkel bei $C'$. Und das kann man auch am Bild sehen, denn:
Das Dreieck $BCC'$ ist gleichschenklig, also ist der Winkel bei $C'$ gleich dem Innenwinkel im Dreieck $BCC'$ bei $C$, dieser ist aber der Nebenwinkel zu $\alpha$, ergänzt sich also mit dem zu $180^\circ$.
Sehr schön, wie gründlich Du das durchdacht hast.
Merke also generell: Das Auflösen mit $\arcsin$ liefert zwar eine Lösung, es kann aber durchaus noch andere geben. Dazu muss man die konkrete Situation anschauen (die den Definitionsbereich bestimmt, also welche Lösungen überhaupt in Frage kommen).
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mikn
Lehrer/Professor, Punkte: 40.1K
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Vielen Dank für die ausführliche und strukturierte Erklärung! Hat mir sehr geholfen. :)
─
nas17
23.06.2022 um 15:41
Ignoriere diesen Kommentar, bin gerade am Latex ausprobieren: $$\sqrt{2-x}$$
EDIT: Funktioniert super. Habe das Dokument gesucht, welches Du zu Latex verlinkt hast (weiss nicht mehr, unter welcher Frage das war). Habe nun gemerkt, dass ich die $$ setzen muss, damit der Code übertragen wird. ─ nas17 23.06.2022 um 22:35
EDIT: Funktioniert super. Habe das Dokument gesucht, welches Du zu Latex verlinkt hast (weiss nicht mehr, unter welcher Frage das war). Habe nun gemerkt, dass ich die $$ setzen muss, damit der Code übertragen wird. ─ nas17 23.06.2022 um 22:35
Besten Dank :)
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nas17
23.06.2022 um 22:46
Stimmt, habe es danach gemerkt. Habe insgeheim gehofft, dass ich noch einen Link erhalte. Hat funktioniert. ;)
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nas17
23.06.2022 um 22:53
Genau den habe ich gemeint. Die verlinkte Frage ist auch sehr hilfreich.
Danke! Werde ich mir anschauen. :) ─ nas17 23.06.2022 um 23:02
Danke! Werde ich mir anschauen. :) ─ nas17 23.06.2022 um 23:02
Wirklich beeindruckend, was dieser Mann geleistet hat!
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nas17
23.06.2022 um 23:22
Leider scheint diese Antwort Unstimmigkeiten zu enthalten und muss korrigiert werden.
Mikn wurde bereits informiert.