Tangens und Arkustangens

Aufrufe: 90     Aktiv: 13.05.2022 um 21:15

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Hey, ich habe ein paar Probleme folgende Aufgabe zu verstehen. 

Ich habe eine Abbildung $\Phi (r, \phi)=(r \cos(\phi), r \sin(\phi)^T=:(x,y)^T$

Nun ist die Frage: Für welche Werte x und y liefert die Formel $$ \phi = \arctan(\frac{y}{x})$$ das richtige Ergebnis und wie viel Fälle muss man unterscheiden, um für alle $(x,y) \in \mathbb{R}^2$ das richtig Ergebnis zu erhalten. 

Es gilt nun ja
$$ \tan(\phi)=\frac{y}{x}$$ das gilt nur, für $x \neq 0$. Die Lösung unterscheidet jetzt folgende Fälle 
$$\phi = $$
  • $\arctan( \frac{y}{x})$ für $x >0$
  • $\frac{\pi}{2}$ für $x=0, y>0$
  • $ \pi +\arctan( \frac{y}{x})$ für $x <0, y\geq 0$
  • $ \pi - \arctan( \frac{y}{x})$ für $x <0, y<0$
  • $\frac{\pi}{2}$ für $x=0, y<0$
Ich weiß, auch dass der Tangens auf $(- \pi/2, \pi/2)$ und entsprechende Verschiebung um Vielfache definiert ist und die Umkehrfunktion, dann entsprechend $k\pi + \arctan(x)$ sein kann.

Ich habe mir auch beide Graphen zeichnen lassen: 


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Wo ist denn Deine Frage? Die Lösung kennst Du ja.   ─   mikn 13.05.2022 um 15:55

ich verstehe nicht, wie man auf die Fälle kommt, also warum setzt man für x=0 und y>0 phi=pi/2   ─   walterfrosch 13.05.2022 um 16:37
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1 Antwort
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... weil es das richtige Ergebnis liefert.
Zeichne Dir nicht den Graphen von $\tan$ oder $\arctan$, sondern einen Punkt (x,y) und lies an der Skizze ab, in welchem Bereich der Winkel liegen muss. Mit Berücksichtigung von Def- und Wertebereich von $\arctan$ kommt man dann genau auf das gewünschte Ergebnis.
Es geht ja hier um Umrechnung in Polarkoordinaten, aber es kommt darauf an, ob man $\phi\in (-\pi,\pi]$ oder $\phi\in [0,2\pi)$ als "richtig" ansieht. Das muss man sich vorher(!) überlegen.
Der letzte Fall stimmt auf jeden Fall nicht, da muss entweder $-\frac\pi2$ oder $\frac{3\pi}2$ stehen, je nachdem.
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@mikn in deine LaTeX-Code hast glaube ich ein Zeichen zu viel und/oder zu wenig, so dass es nicht wie wahrscheinlich beabsichtigt angezeigt wird   ─   maqu 13.05.2022 um 17:37

Die Antwort hat einen kleinen $\TeX$nischen Fehler ;-)   ─   mathe42 13.05.2022 um 17:52

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@maqu, mathe42: Danke. Ein(!) Hinweis hätte auch gereicht, aber da es ja zwei Fehler waren, ist es auch ok ;-)   ─   mikn 13.05.2022 um 18:32

Erst nachdem ich meinen Kommentar verfasst hatte, schlüpfte plötzlich ein 15min alter Kommentar ähnlicher Aussage darüber hinein...   ─   mathe42 13.05.2022 um 18:39

Ich danke dir, ich glaube ich habe es Verstanden. Es kommt darauf an, in welchem Quadraten ich bin. In unserer Aufgabe ist $\phi$ von $(- \pi/2,- \pi/2]$ also ist in der "rechten Seite", also Quadrant 1 und 4 einfach der arctan und in den anderen Quadranten verschiebe ich entsprechend oder bin auf der y-Achse, oder?   ─   walterfrosch 13.05.2022 um 18:44

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um wieder etwas "on-topic" zu werden:
Fallunterscheidungen sind natürlich für x=0 nötig, wo die Division gar nicht durchführbar ist,
und darüberhinaus zum Erkennen des richtigen Quadranten des Punktes. Bei der Division werden ja die Vorzeichen von x und y zu einem Vorzeichen des Quotienten zusammengefasst, und somit jeweils diagonal gegenüberliegende Quadranten nicht mehr aus dem Quotienten alleine unterscheidbar.
  ─   mathe42 13.05.2022 um 18:45

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Und bei Punkten exakt auf der y-Achse muss man auch noch die obere(positive) und die untere(negative) Hälfte unterscheiden, weil sich daraus verschiedene Winkel ergeben.   ─   mathe42 13.05.2022 um 18:48

Noch was: Bei Polar-koordinaten ist der Winkel jedenfalls nicht auf $(-\pi/2,\pi/2]$ beschränkt. überlege dir, was für einen Winkel z.b. der Punkt (-1,1) hat, und auf welchen Winkel du mit bloßem arctan(1/-1) kommst.

Für ein leichteres Erfassen der Winkel kannst du ja den Taschenrechner auch mal von "Rad" auf "Deg" umschalten, und mit Winkeln von -180° bis 180° rechnen...
  ─   mathe42 13.05.2022 um 18:59

theoretisch sollte es aber doch ein Intervall sein, dass eine Länge von 2pi hat, oder nicht, damit es eindeutig ist? Arctan(-1), dann muss ich mir überlegen was ich für den Tanges einsetzen kann, damit -1 rauskommt, oder? Für pi/4 kommt eins raus, da dort sinus und cosinus gleich ist, um pi weitergedreht, kommt 5pi/4 raus oder?

Aber in der Aufgabe ist der Winkel von Großphi auf das obige Intervall beschränkt
  ─   walterfrosch 13.05.2022 um 19:10

In welche Richtung würde $\Phi = 5\pi/4$ vom Ursprung aus gesehen "hinzeigen"? (Ich glaube, *nicht* in Richtung Punkt $(-1,1)$ )
Da muss dann wohl was schiefgegangen sein...
  ─   mathe42 13.05.2022 um 19:32

Ja, für Polarkoordinaten muss es ein Intervall der Länge $2\pi$ sein, das an einer Seite offen, an der anderen abgeschlossen ist. Üblich sind die beiden oben in meiner Antwort erwähnten Intervalle (nochmal editiert), da gibt es keine einheitliche Definition. Daher muss man etwas mitdenken und ggf. die Berechnung über $\arctan$. anpassen.   ─   mikn 13.05.2022 um 20:17

@mathe42: sorry, habe mir (-1,-1) angeschaut, so bin ich dann 90 Grad zu weit gegangen.   ─   walterfrosch 13.05.2022 um 20:35

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Hauptsache, du erarbeitest dir ein Gefühl, wie du abhängig vom Quadranten des Punktes das Ergebnis des Arctan richtig anpasst.   ─   mathe42 13.05.2022 um 20:55

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