Aus (totale) Differenzierbarkeit folgt Stetigkeit

Aufrufe: 65     Aktiv: 12.10.2021 um 16:47

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Im Beweis des Satzes wird angegeben, dass die Funktion \(\rho: D \to \mathbb{R}^m\) mit \(\rho(x) = \frac{f(x) - f(a) - L(x-a)}{||x-a||}\), falls \(x \not = a\) und 0 falls \(x = a \) per Definition in \(a\) stetig sein soll. 

Die Definition von totale Differenzierbarkeit kenne ich als: 
Eine Funktion \(f: D \subset \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^m \), \(D\) offen, heißt in a (total) differenzierbar, wenn es eine lineare Abbildung L \(\in L(\mathbb{R}^n, \mathbb{R}^m)\) gibt sodass 
\(\lim_{x \to a} \frac{f(x) - f(a) -L(x-a)}{||x-a||}\) = 0 ist.

Mir ist noch nicht so ganz klar, warum \(\rho\) wegen dieser Definition jetzt stetig sein soll, und wenn das gilt, warum ist der Beweis dann nicht schon fertig, da auch L als lineare Funktion stetig ist?

EDIT vom 11.10.2021 um 20:54:

Edit: 
Ich bin zum Entschluss gekommen, dass die Definition \(\lim_{x\to a} \frac{f(x)-f(a)-L(x-a)}{||x-a||}\) = 0 soviel bedeutet wie: Für alle \(\epsilon\) > 0 gibt es ein \(\delta\) > 0, sodass für \(||x-a||\) <  \(\delta\) folgt: \(\frac{||f(x) -f(a) - L(x-a)||}{||x-a||}\) < \(\epsilon\), weil ja der Zähler schneller gegen Null gehen muss als der Nenner. Richtig?
Und der zweite Fall bei \(\rho\) ist dann irgendwie die stetige Ergänzung. 
Ist \(\rho\) also stetig, weil für \(||x-a||\) <  \(\delta\) folgt: \(||f(x) -f(a) - L(x-a)||\) < \(\epsilon ||x-a||\), aber ich habe ja noch das L(x-a). Was mach ich mit dem?
Würde mich über Antworten freuen, ich stehe auf dem Schlauch.
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Du solltest hier am besten das Folgenkriterium anwenden. Es gilt ja
\( \lim_{x \to a} \rho(x) = \lim_{x \to a} \frac{f(x)-f(a)-L(x-a)}{\| x-a \|} = 0 = \rho(a) \)
und somit ist \( \rho \) stetig in \( a \).
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