(Twitter)
bräuchte bitte Hilfe bei sechs und sieben, gerne kleinschrittige Erklärung, danke im voraus.
kann sich das bitte einer anschauen, 7c irritiert mich das a und b, wie muss ich damit umgehen? aufgabe sechs weiß ich immer noch nicht, was ich konkret machen soll.
Ich habe versucht 7c zu bearbeiten. Ich habe aber keine Ahnung, was das Ergebnis für ein Aussagewert hat, geschweige denn, was das konkret bedeuten soll. Ist meine Vorgehensweise zumindest richtig ?
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Hallo,
für die 6 brauchst du die trigonometrischen Additionstheoreme. Schau mal hier in die Formelsammlung. Da findest du was passendes.
Für die 7 mach dir am Besten immer mal ne Skizze. Nutze vielleicht Geogebra dazu. Dann hast du ne Vorstellung davon, was für Lösungen herauskommen könnten. Dann muss man ein bisschen wissen, wie man mit trigonometrischen Funktionen umgehen muss.
Du könntest beispielsweise bei der a) mit deinem Wissen aus der 6 ein Produkt aus der Summe machen und dann mit Hilfe des Satzes vom Nullprodukt alle Lösungen finden.
Bei der b) kannst du auch additionstheoreme verwenden um ein Produkt zu erzeugen. Vielleicht muss man hier vorher etwas umformen.
Probiere dich einfach mal ein bisschen aus mit den Theoremen. Die sollten bei so Aufgaben meistens dein erster Anlaufpunkt sein.
Wenn du nicht weiter kommst, melde dich gerne nochmal.
Grüße Christian
für die 6 brauchst du die trigonometrischen Additionstheoreme. Schau mal hier in die Formelsammlung. Da findest du was passendes.
Für die 7 mach dir am Besten immer mal ne Skizze. Nutze vielleicht Geogebra dazu. Dann hast du ne Vorstellung davon, was für Lösungen herauskommen könnten. Dann muss man ein bisschen wissen, wie man mit trigonometrischen Funktionen umgehen muss.
Du könntest beispielsweise bei der a) mit deinem Wissen aus der 6 ein Produkt aus der Summe machen und dann mit Hilfe des Satzes vom Nullprodukt alle Lösungen finden.
Bei der b) kannst du auch additionstheoreme verwenden um ein Produkt zu erzeugen. Vielleicht muss man hier vorher etwas umformen.
Probiere dich einfach mal ein bisschen aus mit den Theoremen. Die sollten bei so Aufgaben meistens dein erster Anlaufpunkt sein.
Wenn du nicht weiter kommst, melde dich gerne nochmal.
Grüße Christian
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christian_strack
Sonstiger Berufsstatus, Punkte: 29.81K
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Danke Christian für deine Aufklärung, sehr nett.
─
pingpong2606
26.10.2021 um 21:43
Nur weiß ich nicht, was du mit Geogebra meinst, also in wie fern ich damit arbeiten soll. Ich kann dir nur nahelegen, dass ich von allem Zero Ahnung habe. Damit ihr bescheid wisst. Eigentlich brauche ich zu beiden Aufgaben eine ausführlichere Antwort, deine Antwort bringt mich nicht wirklich weiter.
─
pingpong2606
26.10.2021 um 21:44
Einfach mal im Browser geogebra classic googlen. Aufrufen und damit rumspielen. In Geogebra kannst du Funktionen eingeben, die dir dann gezeichnet werden. Links oben Eingabe, z.B. gibst du ein sin(x) + sin(2x). Geogebra kann noch viel mehr. Einfach nach und nach kennen lernen.
─
lernspass
26.10.2021 um 21:49
Hallo,
eine Lösung werde ich nicht präsentieren. Ich habe dir eigentlich alles gegeben was du brauchst. Das mit Geogebra war eigentlich eher ein allgemeiner Tipp. Das musst du hier nicht unbedingt machen. Hilft dir aber dabei ein Gefühl für den Funktionsverlauf zu bekommen.
Lass uns das gemeinsam machen:
Bist du auf den Link gegangen den ich dir hier hinterlassen habe? Du kommst dann zu einer Formelsammlung. Ja die ist etwas größer aber es gibt ein Inhaltsverzeichnis. In diesem Verzeichnis gibt es eine Überschrift, die exakt dein erstes Problem beschreibt.
Um dir dabei zu helfen. Wie nennt man den das Ergebnis einer Addition? Wie heißt der Funktionstyp einer Sinus- oder Kosinusfunktion? ─ christian_strack 26.10.2021 um 23:50
eine Lösung werde ich nicht präsentieren. Ich habe dir eigentlich alles gegeben was du brauchst. Das mit Geogebra war eigentlich eher ein allgemeiner Tipp. Das musst du hier nicht unbedingt machen. Hilft dir aber dabei ein Gefühl für den Funktionsverlauf zu bekommen.
Lass uns das gemeinsam machen:
Bist du auf den Link gegangen den ich dir hier hinterlassen habe? Du kommst dann zu einer Formelsammlung. Ja die ist etwas größer aber es gibt ein Inhaltsverzeichnis. In diesem Verzeichnis gibt es eine Überschrift, die exakt dein erstes Problem beschreibt.
Um dir dabei zu helfen. Wie nennt man den das Ergebnis einer Addition? Wie heißt der Funktionstyp einer Sinus- oder Kosinusfunktion? ─ christian_strack 26.10.2021 um 23:50
Ich will auch keine Lösung haben. Ich will das Thema tatsächlich verstehen. Leider, ist mein Problem,
dass ich nicht weiß, wie und womit ich konkret zu lernen habe. Das Ergebnis eine Addition heißt Summe soweit ich weiß. Ich finde Mathe super interessant, bis vor kurzem habe ich gedacht, dass Mathe für mich nicht machbar ist, ohne mich probiert zu haben. Jetzt möchte ich schauen, ob ich das hinbekomme. ─ pingpong2606 27.10.2021 um 20:28
dass ich nicht weiß, wie und womit ich konkret zu lernen habe. Das Ergebnis eine Addition heißt Summe soweit ich weiß. Ich finde Mathe super interessant, bis vor kurzem habe ich gedacht, dass Mathe für mich nicht machbar ist, ohne mich probiert zu haben. Jetzt möchte ich schauen, ob ich das hinbekomme. ─ pingpong2606 27.10.2021 um 20:28
Das finde ich sehr schön zu hören. :) Diese Einstellung ist der wichtigste Schritt um sich der Mathematik zu nähern. Man steht oft vor einem Problem und weiß einfach nicht weiter. Aber mit Motivation und Interesse kann man sich durchbeißen und wenn es klappt, ist das wirklich herrlich!
Dann lass uns mal zusammen das Problem lösen.
Du hast nicht die Identität genommen die ich meinte, aber auch eine die sehr gut funktioniert. Umso besser :)
Die Aufspaltung in ein Produkt und die Nutzung vom Satz vom Nullprodukt ist auch schon mal sehr gut.
Nun ist richtig, dass $\sin(x) = 0$ von $0,\pi$ und $2\pi$ gelöst wird. Aber auch von $3\pi$ oder $-\pi$. Insgesamt gilt
$$ \sin(x) = 0 \Rightarrow x = k\pi \quad k \in \mathbb Z$$.
Eine trigonometrische Funktion hat falls sie eine Lösung hat, immer unendlich viele Lösungen, da die Funktion periodisch ist.
Bis auf die Werte 1 und -1 nimmt die Sinus bzw. Kosinus Funktion auch jeden Funktionswert 2 mal an im Intervall der Länge $2\pi$.
Es ist schon mal richtig, dass $x= \frac 23 \pi$ eine Lösung ist. Nun gilt für den Kosinus $\cos(-x) = \cos(x)$. Damit ist auch $x= -\frac 2 3 \pi$ eine Lösung. Damit erhalten wir insgesamt
$$ \cos(x) = - \frac 1 2 \Rightarrow x=\frac 2 3 \pi + 2\pi k \lor x= - \frac 2 3 \pi + 2\pi k \quad k \in \mathbb Z $$
Bei der b) bist du auch richtig vorgegangen, hast aber wieder nicht alle Lösungen gefunden. Versuch es mal mit den neuen Informationen. Als Tipp:
$$ \sin(x) = - \sin(-x) $$
Bei der d) sehr gut gerechnet. Auch sehr gut, dass du den Sinus nicht einfach rausgeteilt hast. Auch hier: Kannst du eine allgemeine Lösungsformel finden?
Hmm die c) ist wirklich knackig. Da würde mir gerade tatsächlich nur eine Idee zu mit Hilfe der komplexen Zahlen kommen. Obwohl ich mir da gerde auch etwas unsicher bin wie zielführend das ist. ich würde mal weiter drüber nachdenken.
Hat die 6 denn soweit geklappt? ─ christian_strack 27.10.2021 um 23:26
Dann lass uns mal zusammen das Problem lösen.
Du hast nicht die Identität genommen die ich meinte, aber auch eine die sehr gut funktioniert. Umso besser :)
Die Aufspaltung in ein Produkt und die Nutzung vom Satz vom Nullprodukt ist auch schon mal sehr gut.
Nun ist richtig, dass $\sin(x) = 0$ von $0,\pi$ und $2\pi$ gelöst wird. Aber auch von $3\pi$ oder $-\pi$. Insgesamt gilt
$$ \sin(x) = 0 \Rightarrow x = k\pi \quad k \in \mathbb Z$$.
Eine trigonometrische Funktion hat falls sie eine Lösung hat, immer unendlich viele Lösungen, da die Funktion periodisch ist.
Bis auf die Werte 1 und -1 nimmt die Sinus bzw. Kosinus Funktion auch jeden Funktionswert 2 mal an im Intervall der Länge $2\pi$.
Es ist schon mal richtig, dass $x= \frac 23 \pi$ eine Lösung ist. Nun gilt für den Kosinus $\cos(-x) = \cos(x)$. Damit ist auch $x= -\frac 2 3 \pi$ eine Lösung. Damit erhalten wir insgesamt
$$ \cos(x) = - \frac 1 2 \Rightarrow x=\frac 2 3 \pi + 2\pi k \lor x= - \frac 2 3 \pi + 2\pi k \quad k \in \mathbb Z $$
Bei der b) bist du auch richtig vorgegangen, hast aber wieder nicht alle Lösungen gefunden. Versuch es mal mit den neuen Informationen. Als Tipp:
$$ \sin(x) = - \sin(-x) $$
Bei der d) sehr gut gerechnet. Auch sehr gut, dass du den Sinus nicht einfach rausgeteilt hast. Auch hier: Kannst du eine allgemeine Lösungsformel finden?
Hmm die c) ist wirklich knackig. Da würde mir gerade tatsächlich nur eine Idee zu mit Hilfe der komplexen Zahlen kommen. Obwohl ich mir da gerde auch etwas unsicher bin wie zielführend das ist. ich würde mal weiter drüber nachdenken.
Hat die 6 denn soweit geklappt? ─ christian_strack 27.10.2021 um 23:26
Ach da habe ich doch ne Idee zur c).
Mir fällt ein, dass man zeigen kann, dass
$$ a \sin(x) + b \cos(x) = c \sin(x + \varphi) $$
mit $c = \sqrt{a^2+b^2}$ und $\varphi = \arctan \frac ba $. Ich denke damit kann man eine allgemeine Lösung angehen. Probiere gerne mal rum. Wenn du nicht weiter kommst, melde dich nochmal. ─ christian_strack 27.10.2021 um 23:29
Mir fällt ein, dass man zeigen kann, dass
$$ a \sin(x) + b \cos(x) = c \sin(x + \varphi) $$
mit $c = \sqrt{a^2+b^2}$ und $\varphi = \arctan \frac ba $. Ich denke damit kann man eine allgemeine Lösung angehen. Probiere gerne mal rum. Wenn du nicht weiter kommst, melde dich nochmal. ─ christian_strack 27.10.2021 um 23:29
ich bedanke mich recht herzlich für deine ausführliche Antwort. Kurze Frage zwischendurch, woher weiß ich, dass sin(x)=-sin(-x) oder cos (-x)= cos(x) ist? kann man das an der Sinuskurve bzw. Cosinuskurve ablesen ? Nochmal für mich zum Verständnis, eine Trigonometrische Funktion ist periodisch sofern sie eine Lösung hat, ok. Kann ich das an den jeweiligen Kurven ablesen ? Weil ich bislang nur eine begrenzte Kurve der jeweiligen Funktionen gesehen habe.
─ pingpong2606 29.10.2021 um 00:44
─ pingpong2606 29.10.2021 um 00:44
Hey sorry das die Antwort erst jetzt kommt.
Das $\sin(x) = - \sin(-x)$ gilt kann man auf mehrere Arten sich vor Augen führen. Die Eigenschaft $f(x) = -f(-x)$ bedeutet dass eine Funktion Punktsymmetrisch zum Ursprung ist. Das kann man am Graphen sehen. Genauso steht $f(x) = f(-x)$ dafür. dass eine Funktion Achsensymmetrisch zur y-Achse ist und das ist der Kosinus.
Man kann sich das aber auch an der Definition angucken. Die Funktionen werden am Einheitskreis definiert. Diese Definition würde ich mir auch einmal genau angucken, weil man dann ein besseres Verständnis für diese beiden Funktionen bekommt.
Eine Funktion $f(x)$ ist periodisch zur Periode $T$, wenn gilt $f(x) = f(x+T)$. Genau das gilt auch für den Sinus und den Kosinus.
$$ \sin(x) = \sin(x+2\pi) , \quad \cos(x) = \cos(x+2\pi)$$
Natürlich gilt dann auch
$$ f(x+T) = f(x+T+T)=f(x+2T)$$
usw. Also immer wenn wir die Periode auf das Argument drauf addieren, erhalten wir den selben Funktionswert. Wir können deshalb uns ein Intervall nehmen, dass die Länge der Periode hat und können in diesem Intervall beispielsweise alle Nullstellen berechnen. Wir können die erhaltene Lösung dann durch unser Wissen über die Periodizität auf den kompletten Definitionsbereich erweitern.
Nun denkt man bei einem Intervall der Länge $2\pi$ vielleicht zuerst an $[0,2\pi]$. Ich würde dir aber in den meisten Fällen eher das Intervall $[-\pi,\pi]$ empfehlen. Durch die Symmetrie um den Ursprung, können wir in diesem Intervall nämlich die Achsensymmetrie ($\cos(x) = \cos(-x)$) bzw. Punktsymmetrie ($\sin(x) = - \sin(-x)$) nutzen. ─ christian_strack 30.10.2021 um 13:08
Das $\sin(x) = - \sin(-x)$ gilt kann man auf mehrere Arten sich vor Augen führen. Die Eigenschaft $f(x) = -f(-x)$ bedeutet dass eine Funktion Punktsymmetrisch zum Ursprung ist. Das kann man am Graphen sehen. Genauso steht $f(x) = f(-x)$ dafür. dass eine Funktion Achsensymmetrisch zur y-Achse ist und das ist der Kosinus.
Man kann sich das aber auch an der Definition angucken. Die Funktionen werden am Einheitskreis definiert. Diese Definition würde ich mir auch einmal genau angucken, weil man dann ein besseres Verständnis für diese beiden Funktionen bekommt.
Eine Funktion $f(x)$ ist periodisch zur Periode $T$, wenn gilt $f(x) = f(x+T)$. Genau das gilt auch für den Sinus und den Kosinus.
$$ \sin(x) = \sin(x+2\pi) , \quad \cos(x) = \cos(x+2\pi)$$
Natürlich gilt dann auch
$$ f(x+T) = f(x+T+T)=f(x+2T)$$
usw. Also immer wenn wir die Periode auf das Argument drauf addieren, erhalten wir den selben Funktionswert. Wir können deshalb uns ein Intervall nehmen, dass die Länge der Periode hat und können in diesem Intervall beispielsweise alle Nullstellen berechnen. Wir können die erhaltene Lösung dann durch unser Wissen über die Periodizität auf den kompletten Definitionsbereich erweitern.
Nun denkt man bei einem Intervall der Länge $2\pi$ vielleicht zuerst an $[0,2\pi]$. Ich würde dir aber in den meisten Fällen eher das Intervall $[-\pi,\pi]$ empfehlen. Durch die Symmetrie um den Ursprung, können wir in diesem Intervall nämlich die Achsensymmetrie ($\cos(x) = \cos(-x)$) bzw. Punktsymmetrie ($\sin(x) = - \sin(-x)$) nutzen. ─ christian_strack 30.10.2021 um 13:08
Ich sehe gerade, dass du die c) wesentlich eleganter gelöst hast als mein Vorschlag. Sehr gute Idee :)
Damit findest du die Lösung
$$ x = \arctan\left( - \frac ba \right) $$
Nun hat auch der Tangens eine Periode. Und zwar ist die Periode $\pi$. Findest du dann mit diesem Ergebnis alle Lösungen?
─ christian_strack 30.10.2021 um 13:54
Damit findest du die Lösung
$$ x = \arctan\left( - \frac ba \right) $$
Nun hat auch der Tangens eine Periode. Und zwar ist die Periode $\pi$. Findest du dann mit diesem Ergebnis alle Lösungen?
─ christian_strack 30.10.2021 um 13:54
Danke dir herzlich Christian, den ersten Absatz über Punktsymmetrie und Achsensymmetrie habe ich verstanden. Alles andere danach nicht mehr. Ich schaue mal, ob ich das anderweitig hinbekomme zu verstehen. Wenn ich das nicht hinkommen sollte, melde ich mich.
─
pingpong2606
01.11.2021 um 21:27