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Guten Tag, ich wollte fragen ob das stimmt was ich da mache, oder ob es falsch ist... und außerdem wollte ich fragen wie ich das überprüfen kann ob das in dem Bereich von x^2 - y^2 <= 4 ist, bzw was ich damit machen soll....
gefragt

Student, Punkte: 49

 

Anhang: x^2 + y^2 weiß ich , ist in R^2 ein Kreis.... Soll also die f(x,y) in dem Bereich von einem Kreis sein?
  ─   xaverhauer 01.10.2021 um 13:03
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1 Antwort
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Du hast richtig gefunden, dass in (0,0) ein Sattelpunkt vorliegt. Allerdings gibt es noch mehr Kandidaten für Extrema.
Du hast eine (der beiden) Nullstellengleichung faktorisiert, aber dann mach auch konsequent weiter, d.h. alle Fälle durchgehen und alle Paare identifizieren.
Und zu der Bedingung: Genau lesen: der Defbereich von f ist der R^2, der Wertebereich R. Es kann also nicht um die Funktionswerte gehen, sondern nur um Punkte im Defbereich, hier also um die Extrema in dem genannten Bereich. Ob die von Dir gefundenen Punkte darin liegen, prüft man mit dieser Bedingung nach. Dazu spielt es keine Rolle, ob es ein Kreis ist oder sonstwas (ja, die Bedingung beschreibt eine Kreisscheibe (nicht Kreis) mit Rand, aber wie gesagt, hier egal).
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Lehrer/Professor, Punkte: 17.3K

 

Ok, vielen Dank, dann versuch ichs weiter :)   ─   xaverhauer 01.10.2021 um 13:52

Ok, nach vielem nachdenken und probieren, muss ich sagen, stehe ich leider auf dem Schlauch... Ich bekomme sonst keinen anderen Punkt mehr aus den 2 Gleichungen die ich 0 gesetzt habe.... Wenn ich (1/1) in die erste Gleichung setzt kommt =0 heraus, aber in der zweiten Gleichung kommt nie 0 heraus, man kommt auf x^2 = -1 und dann wäre x = -+wurzel(-1) was ja also die imaginäre Zahl wäre?   ─   xaverhauer 01.10.2021 um 14:26

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Ok, ich hatte es nicht durchgerechnet, es gibt keine weiteren Kandidaten. Allerdings muss man das nachweisen, und "Probieren" ist keine zugelassene Methode.
Es gibt also keine lokalen Extrema in R^2(!). Das war der erste Teil.
Jetzt schauen wir uns noch $D=\{(x,y) | x^2-y^2\le 4\}$ an. Das ist übrigens keine Kreisscheibe (sorry, mein Fehler oben, kann ich aber nicht mehr korrigieren).
Aus unserem ersten Teil wissen wir, dass es im Innern von $D$ kein lok. Extr. geben kann. Also ist noch der Rand zu prüfen, d.h. man sucht nun Extrema von $f$ unter der NB $x^2-y^2=4$. Dazu braucht man wg der Einfachheit keine Lagrange-Multiplikatoren, einfach die NB einsetzen und Extrema von $f$ suchen. Es gibt aber dort gar keine Kandidaten (wenn ich richtig gerechnet habe). Das war der zweite Teil.
Insgesamt gibt es also keine Extrema von $f$ im genannten Bereich.
Etwas ungewöhnliches Ergebnis für diese Aufgabenstellung. Vielleicht ja ein Tippfehler, ansonsten ist es halt einfach so.
  ─   mikn 01.10.2021 um 15:45

Ok ok, vielen Dank dass Sie sich jetzt noch extra die Mühe gemacht haben! Jetzt sind alle Unklarheiten bereinigt, danke !   ─   xaverhauer 01.10.2021 um 15:54

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Klar doch, gerne. So halbfertige Sachen lasse ich nicht gerne stehen.   ─   mikn 01.10.2021 um 16:26

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