Können reelle Matrizen auch komplexe Eigenwerte haben?

Aufrufe: 415     Aktiv: 05.05.2023 um 13:28
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Hallo,

ich habe eine Verständnisfrage zu Eigenwerten und Matrizen.

Wir wissen, dass jeder Eigenwert einer reell symmetrischen Matrix ebenfalls reell ist. Doch kann ein Eigenwert einer solchen Matrix auch komplex sein? Falls ja, in welchem Fall?

Oder kann nur eine komplexe Matrix komplexe Eigenwerte (und reelle EW) haben?

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gefragt

Student, Punkte: 37

 
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1 Antwort
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Merkwürdige Frage: "Wir wissen, dass jeder Eigenwert einer reell symmetrischen Matrix ebenfalls reell ist. Doch kann ein Eigenwert einer solchen Matrix auch komplex sein?"
Du weißt also, die EWe sind reell und fragst, ob sie auch komplex sein können?
Die Antwort lautet dann natürlich: Ja, weil jede reelle Zahl gleichzeitig eine komplexe Zahl ist.
Reelle unsymmetrische Matrizen können natürlich auch nicht-reelle EWe haben (sind dann Paare konjugiert komplexer Zahlen).

Vergiss bitte nicht beantwortete Fragen als solche abzuhaken (Anleitung siehe e-mail), Deine lange Liste unbeantworteter Fragen motiviert nicht gerade zu weiterer Hilfe.
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geantwortet

Lehrer/Professor, Punkte: 38.85K

 
Ich merke tatsächlich, dass ich meine Frage sehr ungünstig gestellt habe.
Ich meinte nämlich, wie muss ich einen Koeffizienten einer Matrix wählen, damit aus einer Matrix, die reelle Eigenwerte besitzt, eine Matrix entsteht, die komplexe Eigenwerte bekommt.

Also mal ein Beispiel: Ich habe die untere Matrix gegeben. Wie muss ich den Parameterwert α ∈ ℝ wählen, damit ich reelle Eigenwerte erhalte, und wie, wenn ich komplexe Eigenwerte enthalten möchte?
\begin{pmatrix} 3 & -2 \\ α & 3 \end{pmatrix}

Das war mein Hintergedanke, als ich die Frage gestellt habe.

Danke für den Hinweis mit dem Abhaken. Das werde ich auf jeden Fall nachholen.   ─   ano nym 05.05.2023 um 12:49
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Das ist in der Tat eine ganz andere Frage.
Wenn Du nur irgendwelche Zahlen suchst: $\alpha=-2$ gibt zwei reelle EWe.
Allgemein: Char. Polynom aufstellen und Nullstellen berechnen. Bei Grad 2 kein Problem. Ergebnis hat man sofort: $\alpha < 0$ gibt zwei reelle EWe, $\alpha > 0$ zwei nicht-reelle. $\alpha=0$ kannste mal selbst rechnen.   ─   mikn 05.05.2023 um 13:04
Vielen Dank für die Hilfe! Jetzt sehe ich es tatsächlich auch!   ─   ano nym 05.05.2023 um 13:21
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Gut, freut mich!   ─   mikn 05.05.2023 um 13:28

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