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Hi, ich bräuchte Hilfe bei der überprüfung einer einfachen Algebra Frage. Dahinter steht eine Überlegung aus der Inferenzstatistik.
Hintergrund / Statistik:
Um die kummulierung des $\alpha$ Fehlers bei mehreren Hypothesentests zu vermeiden gibt es verschiedene Korrekturen.
Angenommen man will 3 Vergleiche rechnen mit ($m = 3$ | $m \hat{=} Anzahl Vergleiche$) dann kann man das
$\alpha = 0,05$ signifikanzniveau mit dem man vergleicht einfach heruntersetzen. Die Bonferoni Korrektur wäre einfach: $\alpha_{neu}=\frac{\alpha}{m} = \frac{0,05}{3} = 0,016$
Jetzt habe ich bemerkt das bekannte Statistikprogramme (z.B. SPSS) anstelle des Signifikanzniveaus einfach direkt den p-Wert korrigieren indem sie die folgende Formel einfach umstellen $p \leq\frac{\alpha}{m}$ nach $p * m \leq \alpha$. Das finde ich hat gerade für die Darstellung in Tabellen große Vorteile (direkt einen korrigierten p-Wert zu berichten, statt umständlich darauf hinzuweisen das mit einem anderen (korrigierten) signifikanzniveau verglichen wird.
Anstelle der Bonferoni gibt es auch noch die weniger konservative / strenge Sidark korrektur. Das $\alpha$-Signfikanzniveau wird dabei wie folgt korrigiert $\alpha_{neu}=1-(1-\alpha)^\frac{1}{m}$.
Mein Ziel wäre es nun in einer übersichtlichen Tabelle statt des neuen Signifikanzniveaus einfach direkt die um Sidark korrigierten p-Werte zu berichten.
(einfache?) Algebra Frage:
Dabei bin ich mir leider nicht sicher ob ich Sidarks korrektur richtig umgesteltt habe (die idee müsste ja sein, das alpha alleine auf der rechten Seite der Ungleichung zurück bleibt oder?):
$$
p \leq 1-(1-\alpha)^\frac{1}{m} \\
p \leq 1-\sqrt[m]{(1-\alpha)} \\
p -1 \leq -\sqrt[m]{(1-\alpha)} \\
p^m -1^m \leq -(1-\alpha) \\
p^m -1 \leq -1+\alpha \\
p^m \leq \alpha
$$
Leider ist Algebra bei mir schon eine ganze Weile her (locker 10 Jahre). Aber es reicht um zu sehen, dass hier was nicht stimmen kann.
Denn es soll ja eine Korrektur sein. D.h. der wert von $p = 0,049$ der ohne Korrektur ganz knapp noch signifikant ist, wäre mit dieser "Korrektur" (bei angenommenen $m=3$ Vergleichen $0,049^3 = 0.000118$ noch viel kleiner (signifikanter) geworden. Folglich muss beim umstellen irgendwo was schief gegangen sein.
Hintergrund / Statistik:
Um die kummulierung des $\alpha$ Fehlers bei mehreren Hypothesentests zu vermeiden gibt es verschiedene Korrekturen.
Angenommen man will 3 Vergleiche rechnen mit ($m = 3$ | $m \hat{=} Anzahl Vergleiche$) dann kann man das
$\alpha = 0,05$ signifikanzniveau mit dem man vergleicht einfach heruntersetzen. Die Bonferoni Korrektur wäre einfach: $\alpha_{neu}=\frac{\alpha}{m} = \frac{0,05}{3} = 0,016$
Jetzt habe ich bemerkt das bekannte Statistikprogramme (z.B. SPSS) anstelle des Signifikanzniveaus einfach direkt den p-Wert korrigieren indem sie die folgende Formel einfach umstellen $p \leq\frac{\alpha}{m}$ nach $p * m \leq \alpha$. Das finde ich hat gerade für die Darstellung in Tabellen große Vorteile (direkt einen korrigierten p-Wert zu berichten, statt umständlich darauf hinzuweisen das mit einem anderen (korrigierten) signifikanzniveau verglichen wird.
Anstelle der Bonferoni gibt es auch noch die weniger konservative / strenge Sidark korrektur. Das $\alpha$-Signfikanzniveau wird dabei wie folgt korrigiert $\alpha_{neu}=1-(1-\alpha)^\frac{1}{m}$.
Mein Ziel wäre es nun in einer übersichtlichen Tabelle statt des neuen Signifikanzniveaus einfach direkt die um Sidark korrigierten p-Werte zu berichten.
(einfache?) Algebra Frage:
Dabei bin ich mir leider nicht sicher ob ich Sidarks korrektur richtig umgesteltt habe (die idee müsste ja sein, das alpha alleine auf der rechten Seite der Ungleichung zurück bleibt oder?):
$$
p \leq 1-(1-\alpha)^\frac{1}{m} \\
p \leq 1-\sqrt[m]{(1-\alpha)} \\
p -1 \leq -\sqrt[m]{(1-\alpha)} \\
p^m -1^m \leq -(1-\alpha) \\
p^m -1 \leq -1+\alpha \\
p^m \leq \alpha
$$
Leider ist Algebra bei mir schon eine ganze Weile her (locker 10 Jahre). Aber es reicht um zu sehen, dass hier was nicht stimmen kann.
Denn es soll ja eine Korrektur sein. D.h. der wert von $p = 0,049$ der ohne Korrektur ganz knapp noch signifikant ist, wäre mit dieser "Korrektur" (bei angenommenen $m=3$ Vergleichen $0,049^3 = 0.000118$ noch viel kleiner (signifikanter) geworden. Folglich muss beim umstellen irgendwo was schief gegangen sein.
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user0dd6ec
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