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Hi, ich bräuchte Hilfe bei der überprüfung einer einfachen Algebra Frage. Dahinter steht eine Überlegung aus der Inferenzstatistik.

Hintergrund  / Statistik:
Um die kummulierung des $\alpha$ Fehlers bei mehreren Hypothesentests zu vermeiden gibt es verschiedene Korrekturen.
Angenommen man will 3 Vergleiche rechnen mit ($m = 3$ |  $m \hat{=} Anzahl Vergleiche$) dann kann man das
$\alpha = 0,05$ signifikanzniveau mit dem man vergleicht einfach heruntersetzen. Die Bonferoni Korrektur wäre einfach: $\alpha_{neu}=\frac{\alpha}{m} = \frac{0,05}{3} = 0,016$
Jetzt habe ich bemerkt das bekannte Statistikprogramme (z.B. SPSS) anstelle des Signifikanzniveaus einfach direkt den p-Wert korrigieren indem sie die folgende Formel einfach umstellen $p \leq\frac{\alpha}{m}$  nach $p * m \leq \alpha$. Das finde ich hat gerade für die Darstellung in Tabellen große Vorteile (direkt einen korrigierten p-Wert zu berichten, statt umständlich darauf hinzuweisen das mit einem anderen (korrigierten) signifikanzniveau verglichen wird.

Anstelle der Bonferoni gibt es auch noch die weniger konservative / strenge Sidark korrektur. Das $\alpha$-Signfikanzniveau wird dabei wie folgt korrigiert $\alpha_{neu}=1-(1-\alpha)^\frac{1}{m}$.
Mein Ziel wäre es nun in einer übersichtlichen Tabelle statt des neuen Signifikanzniveaus einfach direkt die um Sidark korrigierten p-Werte zu berichten.

(einfache?) Algebra Frage:
Dabei bin ich mir leider nicht sicher ob ich Sidarks korrektur richtig umgesteltt habe (die idee müsste ja sein, das alpha alleine auf der rechten Seite der Ungleichung zurück bleibt oder?):
$$
p \leq 1-(1-\alpha)^\frac{1}{m}  \\
p \leq 1-\sqrt[m]{(1-\alpha)} \\
p -1 \leq -\sqrt[m]{(1-\alpha)} \\
p^m -1^m \leq -(1-\alpha) \\
p^m -1 \leq -1+\alpha \\
p^m \leq \alpha
$$
Leider ist Algebra bei mir schon eine ganze Weile her (locker 10 Jahre). Aber es reicht um zu sehen, dass hier was nicht stimmen kann.
Denn es soll ja eine Korrektur sein. D.h. der wert von $p = 0,049$ der ohne Korrektur ganz knapp noch signifikant ist, wäre mit dieser "Korrektur" (bei angenommenen $m=3$ Vergleichen $0,049^3 = 0.000118$ noch viel kleiner (signifikanter) geworden. Folglich muss beim umstellen irgendwo was schief gegangen sein.
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Da bisher noch keiner geantwortet hat: 

Im Allgemeinen ist $(a-b)^m \not= a^m-b^m$. Mit anderen Worten: Zeile 4, also diese Zeile:

$$p^m-1^m\le -(1-\alpha)$$ stimmt bereits für $m\ge 3$ nicht mehr.

Es ist $$(p-1)^m = \sum_{k=0}^m \binom{m}{k}p^{m-k}(-1)^k$$


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Student, Punkte: 755

 

Danke für die Antwort und die richtige Lösung. Ich wäre aber gerne bemüht zu verstehen wie man dort hin kommt. Zumal mir nicht klar ist wo das $\alpha$ hin verschwunden ist und woher der Binominalkoeffizient kommt bzw. wieso $p$ auf beiden Seiten auftaucht und wie aus der Ungleichung eine Gleichung geworden ist. Wäre wirklich sehr dankbar wenn Du versuchen könntest es mir zu erklären oder Referenzen wie man dort hin gelangt.   ─   user0dd6ec 03.03.2022 um 17:25

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Achso, nein, die Gleichung die ich dir geliefert habe hat mit deinen Ungleichungen a priori nichts zu tun. Das ist einfach nur der binomische Lehrsatz, der beschreibt, welchen Ausdruck $(p-1)^m$ für beliebige $m\in \mathbb N$ liefert. Es geht darum, dass im Allgemeinen $(p-1)^m$ nicht dasselbe ist wie $p^m-1^m$.   ─   zest 03.03.2022 um 17:33

Danke für die Erläuterung das verstehe ich. Also nicht den Inhalt des Binomischen Lehrsatzes aber das kann ich mir ja versuchen beizubringen. Kann man denn basierend auf diesem Lehrsatz ggf. die Ungleichung so umstellen, das $\alpha$ auf der rechten seite alleine übrig bleibt? Oder ist das überhaupt möglich?   ─   user0dd6ec 03.03.2022 um 17:57

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Mit dem Thema selbst (um das es hier geht) kenne ich mich nicht aus, aber du kannst natürlich jederzeit Folgendes tun:
\begin{align}
&p-1 \le - (1-\alpha)^{1/m} \\ \iff &1-p \ge (1-\alpha)^{1/m}\\ \iff &(1-p)^m \ge 1-\alpha\\ \iff &(1-p)^m-1 \ge - \alpha \\ \iff &1-(1-p)^m \le \alpha
\end{align}
Beachte dass ich im ersten Schritt und letzten Schritt beide Seiten mit $(-1)$ multipliziere, dadurch dreht sich die Ungleichung um, denn es ist $$a \le -b \iff -a\ge b.$$
  ─   zest 03.03.2022 um 18:19

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perfekt das war es was ich gesucht hatte!! Hab vielen Dank! Sehe auch meinen zentralen fehler statt in Zeile 3 der Umformung $(1-p)^m$ habe ich $1^m - p^m$ genommen. TOP! Wirklich super nett dass du dir die Zeit genommen hast!
  ─   user0dd6ec 04.03.2022 um 19:14

Freut mich, dass ich dir helfen konnte! Viel Erfolg weiterhin.   ─   zest 04.03.2022 um 19:30

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