Extremwertaufgaben Allgemein lösen? Was ist das?

Aufrufe: 203     Aktiv: 10.04.2021 um 20:46

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Hi,
ich habe 2 Aufgaben, wo ich nicht so richtig genau weiß, wie das gemeint ist mit "allgemein" lösen:

 

Hat jemand eine Idee, wie ich da am besten vorgehe bzw. welche sinnvollen Werte ich da nehmen könnte?

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Hi :) 

Mit "Allgemein lösen" ist gemeint, dass du es nicht für bestimmte Werte von r und h, sondern in Abhängigkeit vor r und h durchrechnest. Das funktioniert im Grunde genommen genau so wie wenn da 3cm und 5cm angegeben wären... lass dich also von den Buchstaben nicht verwirren. 

Versuch es doch vielleicht einfach mal für den allgemeinen Fall und melde dich bitte falls es konkrete Fragen gibt! 

Viele Grüße:)
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Schüler, Punkte: 2.89K
 

Ich habe es mal probiert und es fühlt sich ganz falsch irgendwie an.
Hier mal ein Screenshot: https://gyazo.com/a5f707cc5fe19dec6f05cd7e017e6327

Wäre cool, wenn du mir vllt. ein paar Hinweise geben könntest.
  ─   trite8q1 03.04.2021 um 10:52

Hallo?   ─   trite8q1 05.04.2021 um 10:29

In deiner skizze sieht es so aus, als hättest du die frage so verstanden, dass außen eine Zylinder ist, in den man Kegel rein stellt. Ist dem so? Falls ja, hast du die Frage leider falsch verstanden. Es geht um einen äußeren Kegel in den ein innerer Zylinder rein soll, der möglichst groß sein soll. Vielleicht täusche ich mich auch und du hast die Frage sehr wohl verstanden :) ... was meinst du ;)?
  ─   derpi-te 05.04.2021 um 10:44

Ja ich habe das so verstanden: "When exactly do you have your OSCP exam?"
Aber ich weiß halt nicht ob das richtig ist und das rechnen hat sich auch irgendwie falsch angefühlt.

Könntest du mir vllt. einen Ansatz geben?
  ─   trite8q1 05.04.2021 um 12:11

DEM Kegel wird ein Zylinder einbeschrieben, heißt, der Kegel ist zuerst da und hinein kommt der Zylinder   ─   monimust 05.04.2021 um 12:43

Ich habe das jetzt so hier gemacht: https://gyazo.com/2fc9b40a7ac886d7cafacfd70b9ccac7

Aber mein Hauptproblem ist meine Rechnung. Es fühlt sich extrem komisch an so wie ich das gerechnet habe. Kann mir evtl. jemand mal einen Ansatz vorrechnen, an den ich mich dann orientieren kann? Weil so mit Worten ist es manchmal schwierig nachzuvollziehen, wie das genau gemeint ist.
Das wäre echt klasse!
  ─   trite8q1 06.04.2021 um 10:23

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In die Skizze solltest du zunächst eintragen (und auch aufschreiben) was gegeben /gesucht ist und zwar gut unterscheidbar. Z.B. könntest du H und D für die Werte des Kegels verwenden und r, h, V für den gesuchten Zylinder.(zur Erleichterung für's Gehirn auch noch versch. Farben benutzen)

Was versuchst du in der Nebenskizze (Pythagoras) durch was auszudrücken? 

Tipp: probier' es mal mit Strahlensatz.

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selbstständig, Punkte: 5.46K
 

Ich habe auch schon überlegt den Strahlensatz zu verwenden, aber ich da jetzt nicht wirklich einen Ansatz gefunden, wie ich das am besten mit den Strahlensatz mache.   ─   trite8q1 06.04.2021 um 11:18

Ich bräuchte einfach mal ein Beispiel, wie man die Aufgabe allgemein löst. Ich verstehe schon wie das gemeint ist, aber ich kann mir nicht vorstellen, wie ich das aufschreiben soll.   ─   trite8q1 06.04.2021 um 11:19

du brauchst erst mal den richtigen Ansatz, siehe oben, sauber mit Skizze und Bezeichnungen arbeiten. Notfalls darfst du ja auch Zahlen für den Kegel verwenden. Wenn du beim Rechnen mit Variablen nicht weiterkommst, ist das eine ganz andere Aufgabe, als wenn du schon Schwierigkeiten beim Aufstellen des Zylindervolumens hast. (Fertige Lösungen anschauen bringt nichts oder nicht viel, beiß dich da mal durch)
.
  ─   monimust 06.04.2021 um 11:27

sinnvolle Zahlen wären diejenigen, die man bei klarem Verstand und ohne böse Absicht normalerweise verwenden würde. Nicht sinnvoll sind z.B. d=2mm, h=1m oder 8stellige Dezimalzahlen oder negative Streckenlängen ;)   ─   monimust 06.04.2021 um 12:04

Ich habe jetzt mal die Bezeichnungen ein wenig abgeändert. Die Frage die ich jetzt hätte wäre: Ist jetzt eigentlich die Skizze richtig? Und weil du ja wegen dem Pythagoras gefragt hattest: Ich habe das einfach mal so hingezeichnet, weil in einem Kegel ja auch ein rechtwinkliges Dreieck ist und ich somit auch den Pythagoras anwenden kann.

Screenshot: https://gyazo.com/627c11e5059d6af8915d0fa71929a650
  ─   trite8q1 07.04.2021 um 09:51

Skizze richtig, Strahlensatz passt. den löst du jetzt nach r auf und setzt das Ganze in die Volumenformel für den Zylinder ein, so hast du die Zielfunktion \(V_z(h)\), kannst es natürlich auch andersherum machen und \(V_z(r)\) bilden (am besten beides mal ausprobieren)
wie es dann weitergeht, weißt du?
Evtl. solltest du (weil das in der Aufgabe angegeben ist), statt R besser D verwenden und dann mit 1/2D rechnen, aber das kannst du auch noch nachträglich machen, so ist es etwas einfacher
(Das mit dem Pythagoras war ein Blindschuss, weil d ja der Durchmesser und nicht die Seitenhöhe ist; die kannst du zwar damit ausrechnen aber wozu?,)
  ─   monimust 07.04.2021 um 10:13

Ich habe das jetzt folgendermaßen gemacht. Ich bin mir allerdings unsicher, ob das so stimmt, vor allem auch bei der 1. Ableitung:
https://gyazo.com/efda69e4569448178867138125da0bc0
  ─   trite8q1 08.04.2021 um 10:31

der Strahlensatz ist richtig aufgelöst , wobei es ein Rätsel bleibt, wie man das mit den angegebenen Umformungen hinbekommt ;)
auch richtig eingesetzt, aber
du hast nur den vorderen Teil abgeleitet, nicht den mit r³
dann kommt nämlich eine quadratische Gleichung raus (Mitternachtsformel)
  ─   monimust 08.04.2021 um 10:53

"wobei es ein Rätsel bleibt, wie man das mit den angegebenen Umformungen hinbekommt" - Schreib mir mal bitte, wie die richtigen Umformungen wären :D Das wäre klasse.

Was meinst du mit "du hast nur den vorderen Teil abgeleitet, nicht den mit r³" ?
  ─   trite8q1 08.04.2021 um 11:05

Zu den Umformungen: am einfachsten die Kehrwerte der Brüche bilden, damit das r im Zähler steht; alternativ mit dem Hauptnenner multiplizieren, um die Nenner wegzubekommen.
Zur Ableitung - jetzt sehe ich auch, was du gemacht hast, hab' mich schon über das Minus gewundert - du hast vorne nach r abgeleitet (richtig) und hinten nach R (das ist ja eine vorgegebene Zahl und nicht die gesuchte Variable, also falsch; hier auch nach r ableiten)
  ─   monimust 08.04.2021 um 11:52

Also so hier bei der Ableitung?:

\(V' = 2\pi \cdot r \cdot H -\frac{3\pi r^2 H}{R} \)

Und bei der Umformung wäre das hier dann in der 2. Zeile richtig?:
\(R = \frac{Hr}{H-h} \)
oder ist das falsch?
  ─   trite8q1 08.04.2021 um 12:03

beides korrekt so   ─   monimust 08.04.2021 um 12:28

Ich habe jetzt so: https://gyazo.com/5f367327f70e473da1f354ea7ef96eea

Nicht beachten, dass ich bei dem einen Bruch im Nenner das "R" vergessen habe und das auf dem Bild meine Schlussfolgerung bei der 2. Ableitung falsch ist. Es müsste ->Hochpunkt -> Maximum sein.

Meine Frage wäre jetzt nur, stimmt der Rest so, vor allem bei der Volumenberechnung.
  ─   trite8q1 09.04.2021 um 09:51

V'': hier darf es nur H heißen, nicht H² , ändert aber nichts an der Folgerung.
H-2/3H=1/3H (zusammenfassen);
die letzte V-Formel ist falsch, wenn du das mit 1/3H berücksichtigst lässt es sich schön zusammenfassen.
Ansonsten schauen die Werte gut/vernünftig aus, dass da doch noch irgendwo ein unentdeckter RF vorhanden ist,, glaub' ich nicht.
Aber du könntest (hab' ich oben schon mal erwähnt) den Strahlensatz nach r auflösen und noch einmal mit V(h) rechnen, sollte dann zum gleichen Ergebnis führen.
  ─   monimust 09.04.2021 um 11:03

Ok.
"H-2/3H=1/3H (zusammenfassen);" In wie fern meinst du da das zusammenfassen. Wie du es da geschrieben hast, sieht für mich ein wenig unüberisichtlich aus, weshalb ich nicht richtig verstehe was du da meinst.
Was meinst du mit RF?
  ─   trite8q1 09.04.2021 um 11:39

\(H-\frac{2}{3}H=\frac{1}{3}H\) besser? das andere stimmt aber von der Notation her auch und ist weniger umständlich zu schreiben ;)   ─   monimust 09.04.2021 um 11:42

Ja so ist es viel besser. Ich liebe LaTeX :D   ─   trite8q1 09.04.2021 um 11:54

RF=Rechenfehler   ─   monimust 09.04.2021 um 11:55

Ich habe jetzt nochmal ein bisschen die Sachen ausgebessert: https://gyazo.com/f31172902abd57834054dbdd1cce1b5f
Wäre somit jetzt die Aufgabe allgemein gelöst?
  ─   trite8q1 10.04.2021 um 10:33

Mir ist gerade aufgefallen das ich einen Fehler gemacht habe, so hier ist es glaub richtig:
V = (4 * Pi * R² * H) / (27)

Stimmt das alles so?
  ─   trite8q1 10.04.2021 um 20:46

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5) Wenn \(R,H\) die Daten des Kreiskegels und \(r,h\) die Daten des einbeschriebenen Zylinders sind, dann gilt aus Ähnlichkeitsgründen (Strahlensatz)
\(\frac{r}{h}=\frac{R}{H}\). Dann lässt sich das Volumen des Zylinders durch \(V(h)\) ausdrücken, das dann nur noch maximiert werden muss (\(V'(h_{max})=0,..)\)
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für den 2. Strahlensatz gilt R/H=(R-r)/h oder H/R=(H-h)/r ; mit obiger Formel wäre für V'(h)=0 das Ergebnis h=0   ─   monimust 07.04.2021 um 14:57

ok, es muss natürlich \(\frac{r}{h}=\frac{R-r}{H}\) heißen! Vielen Dank   ─   gerdware 07.04.2021 um 17:26

Ich habe das jetzt folgendermaßen gemacht. Ich bin mir allerdings unsicher, ob das so stimmt, vor allem auch bei der 1. Ableitung:
https://gyazo.com/efda69e4569448178867138125da0bc0
  ─   trite8q1 08.04.2021 um 10:31

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\(cos\alpha=\frac{h}{a};sin\alpha=\frac{x}{a}\Rightarrow h=a cos\alpha;b=a+2asin\alpha\Rightarrow m=\frac{a+b}{2}=a(1+sin\alpha)\Rightarrow A(\alpha)=a^2(1+sin\alpha)cos\alpha\)
Jetzt nur noch \(A(\alpha)\) maximieren, also \(A'(\alpha)=0\),....
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