Basis, lineare Algebra Aufgaben

Erste Frage Aufrufe: 44     Aktiv: 14.06.2021 um 16:22

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Hi

habe hier 2 Aufgaben wo ich mir bei der Lösung nicht sicher bin.

1) M1 = {(1,0,1), (2,0,0), (3,0,1)}
2) M2 ={1,0,0), (0,1,0)}

(das in Klammern sollen Vektoren darstellen)

Bilden M1, M2 eine Basis des R³ ?

Wenn ich beide mengen als GLS schreibe und löse, habe ja beide unendlich viele Lösungen. Damit sind sie dann keine Basis oder?

2. Aufgabe:

Ich habe folgendes Gleichungssystem:
x + 2y + 3z = 1
3x + 5y + 7z = 2
3x + 6y +9z = 3

Lässt sich die Lösungsmenge L beschreiben als:
L = {(1,-1,0) + x(1,-2,1)} mit x aus R ?

Das GLS hat ja auch wieder unendlich viele Lösungen und damit lässt sich so die Lösungsmenge L nicht beschreiben oder?
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2 Antworten
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Du hast Recht, die beiden Mengen bilden keine Basis des \(\mathbb{R}^3\). Zur zweiten Aufgabe: \(L\) ist doch eine unendliche Menge, da der Vektor \((1,-2,1)\) mit einer beliebigen reellen Zahl skaliert wird. Trotzdem musst du genau hinsehen!
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Student, Punkte: 4.07K

 

Vielen dank!   ─   userf10e26 14.06.2021 um 16:20

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Bei der ersten Aufgabe hast du recht, allerdings hast du dir unnötig viel Arbeit gemacht.  Bei $M_1$ sieht man sofort, dass die Summe der ersten beiden Vektoren den dritten ergibt, also sind die Vektoren linear abhängig und damit keine Basis. $M_2$ besteht nur aus $2$ Vektoren, aber eine Basis des $\mathbb R^3$ hat immer drei Vektoren, das kann also auch keine Basis sein.

Bei der zweiten Aufgabe: Natürlich kann die Lösungsmenge beschrieben werden, eben als eine unendliche Menge. Allerdings kannst du einfach überprüfen, dass $(1,-1,0)$ keine Lösung des Gleichungssystems ist, also kann die angegebene Menge nicht richtig sein. Richtig wäre $\{(-1,1,0)+x(1,-2,1)\ |\ x\in\mathbb R\}$.
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Vielen dank!   ─   userf10e26 14.06.2021 um 16:22

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