Grenzwert einer Folge mit n^n

Aufrufe: 66     Aktiv: 12.01.2022 um 14:53

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Hallo zusammen,

in meiner Aufgabe soll ich den Grenzwert berechnen, sofern dieser existiert.

Mir fehlt hier leider der Ansatz, wie ich mit n^n umzugehen habe :/

Bei einer "ähnlichen" Aufgabe (siehe Bild unten) hatte ich kein Problem und kam auch auf die Lösung.

Mein Lösungsweg zu "a" :

zu "b" fällt es mir irgendwie schwer da einen Ansatz zu finden (bzw die Struktur zu erkennen), wäre für Tips oder einen Ansatz, wie ich in dem Fall mit n^n umzugehen habe glücklich.

Als Lösung kommt der Grenzwert 0 raus

Vielen dank für die Hilfe!

 

EDIT vom 10.01.2022 um 14:52:

Edit: hier mein Rechenweg, falls die Schreibweise nicht stimmt oder es so doch nicht richtig und ich nur zufällig aus richtige Ergebniss gekommen bin, wäre ich um Feedback echt dankbar :D

 

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Grundsätzlich würde ich den Limes beim Umformen weglassen. Das gilt nämlich nur, falls der Grenzwert existiert, was erstmal nicht gesichert ist. Zudem ist das unnötige und nervige Schreibarbeit. Also Term umformen und am Ende dann den Limes anwenden.   ─   cauchy 10.01.2022 um 14:56

Super! Das war mir so nicht klar, weil uns "eingeprügelt" wurde bei einer Folge den Limes immer "mit zu schleppen" sobald wir Grenzwerte betrachten.
D.h. würde es reichen den Limes erst bei 1/((2n-1)^n) anzuwenden, da wir bis dahin eine Nullfolge gebildet haben? Vielen dank fürs Feedback! wieder was gelernt :D
  ─   jl5656 10.01.2022 um 15:05

Vermutlich deswegen, weil viele nach dem ersten Gleich den Limes weglassen, was mathematisch dann erst recht falsch ist.   ─   cauchy 10.01.2022 um 15:09

Ist auch alles eine Übungssache. Mathe is halt auch eine Sprache für sich :D Ich vergesse zum Glück den Limes nicht so schnell, aber bei nem Integrall vergesse ich schon mal öfters das dx oder das +C ... Aber zurück zum Thema: scheint so, als wäre meine Rechnung "richtig" auch wenn ich da noch was an der Handschrift arbeiten könnte. Ich makiere die Frage dann mal als beantwortet, vielen dank für die Tipps und die Hilfe!
  ─   jl5656 10.01.2022 um 15:19
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Hallo,
hier bietet es sich an die \(n^n\) Terme in exponentialschreibweise umzuformen und dann den Limes durch die Funktionen zu nehmen. Üblicherweise kann man bei gleichen Exponenten gut kürzen bzw. teilen, das scheint mir hier aber unpraktisch. Fang also am besten mit \(\lim e^{x\log( x)-x\log (2x-1)}\) an.
LG
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Super! Dein Ansatz hat mir echt geholfen! Hab gar nicht mehr an e^ln gedacht und das ich dann die Potenz vorziehen kann :D
Habe meinen Rechenweg mal hochgeladen, wäre dankebar, wenn du sagen könntest, ob es so richtig ist.
  ─   jl5656 10.01.2022 um 14:54

In der dritten Zeile hats sich ein Fehler eingeschlichen, der sich dann bis zum Ende durchzieht. \(\ln(n)\neq n\ln(1)\). Außerdem musst du, wenn du die 2 in den Exponenten ziehst, sie dann auch als \(\ln(2)\) schrieben, sonst veränderst du den Grenzwert, am besten ganz am Anfang die 2 als unabhängige Konstante vor den Limes ziehen. Also nun bei der 3. Zeile: Klammere das n aus und benutze Logarithmusregeln, um günstig umzuformen. Wenn du damit nicht weiterkommst, melde dich nochmal:)   ─   fix 10.01.2022 um 16:31

Ich bins nochmal :D Ich komme tatsächlich damit nicht weiter >_> Wie klammer ich denn ein n aus, dass sich innerhalb von dem Log befindet?   ─   jl5656 12.01.2022 um 13:47

Angenommen, du hast am Anfang die 2 vor den Limes gezogen. Dann hast du \(e^{n \ln(n)-n\ln(2n+1)}\). Dann kannst du im Exponenten ein n ausklammern - allerdings nicht das n innerhalb des ln - und dann \(\ln(n)-\ln(2n+1)\) via Logarithmusregeln vereinfachen   ─   fix 12.01.2022 um 14:53

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