Kompakte Teilmenge eines Hausdorffraums.

Aufrufe: 71     Aktiv: 04.05.2022 um 18:24

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Hey, kann mir jemand bitte kurz erkläreny was hier genau passiert? Wie kann ein x im Abschluss von A liegen, wenn ich annehme, dass A gar nicht abgeschlossen ist?
Wieso folgt dann mach Konstruktion, dass A geschnitten V_a usw. bis V_b die leere Menge ist? 

Dankeschön für eure Hilfe und schöne Grüße.
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Wenn \(A\) nicht abgeschlossen ist, ist \(A\) selber nicht der Abschluss von \(A\), sondern eine echte Teilmenge vom Abschluss
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Student, Punkte: 8.17K

 

Ok danke, macht Sinn soweit, kannst du mir bitte noch kurz erläutern wieso das nach Konstruktion gilt mit dem A geschnitten V_a usw bis V_b gleich die leere Menge und wieso das ein Widerspruch ist?   ─   sorcing 04.05.2022 um 17:58

\(V_a,\ldots, V_b\) sind offene Umgebungen von \(x\), es ist aber \(x\) so gewählt, dass es nicht in \(A\) ist aber im Abschluss, zeichne dir das vielleicht mal auf   ─   mathejean 04.05.2022 um 18:12

Also ich Stelle mir das anschaulich z.B so vor: Wenn A die Einheitsscheibe ist, und nicht abgeschlossen, dann gibt es ein x, das auf dem Rand liegt. Jetzt habe ich die endlich vielen Umgebungen V von x. Wenn ich mir das aufzeichne, ist der Schnitt mit A und den Umgebungen nicht leer, sei b im Schnitt. Eben weil es nur endlich viele V gibt. Ok, dann liegt aber auch b in A und ich finde eine offene disjunkte Umgebung zu allen V, weshalb b doch nicht im Schnitt sein kann. Zumindest anschaulich.   ─   sorcing 04.05.2022 um 18:22

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