Am Beispiel von $x=k(y,z)$: Deine Vorarbeit garantiert, dass es lokal in der Nähe von (1,1) eine Funktion $k$ gibt $F(k(y,z),y,z)=0$ für alle $y,z$ (lokal bei (1,1)) mit $k(1,1)=0$.
Nun nimmt man die Gleichung $F(k(y,z),y,z)=0$ und leitet diese nach $y$ ab und setzt den Punkt ein. Danach umstellen nach dieser partiellen Ableitung (also nach $\frac{\partial k}{\partial y}(1,1,)$. Danach dasselbe mit $z$.
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Mach Dir erstmal den Sinn des Satzes über implizite Funktionen klar: Wenn man $F(x,y,z)=0$ nach $x$ umformen könnte, bräuchte man den SiF doch gar nicht, weil man dann eine EXPLIZITE Funktion hätte (mach Dir den Unterschied implizit-explizit klar, warum heißt der Satz wohl so?). Der SiF dient dazu die Existenz einer impliziten Funktion zu garantieren (und einige Eigenschaften), und der ist halt hilfreich, wenn man keine explizite Funktion (durch Umstellen) finden kann (oder nicht so leicht).
Ansonsten folge meiner obigen Anleitung.
─ mikn 25.05.2022 um 12:59