Implizite Funktionen

Aufrufe: 341     Aktiv: 25.05.2022 um 12:59
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Ich hänge leider etwas bei folgender Aufgabe: 
Sei U:= $\left\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3 | y \gt 0\right\}$ und
$F: U\rightarrow \mathbb{R}, (x,y,z) \rightarrow xy-zln(y)+e^{xz}-1$.
Entscheiden Sie, ob F(x,y,z) = 0 in einer Umgebung des Punktes (0,1,1) eindeutig gelöst werden kann zu z=g(x,y), y = h(x,z) oder x = k(y,z). Berechnen Sie gegebenenfalls die Funktionalmatrizen von g,h bzw. k im Punkt (0,1,1). 

Ich habe als erstes den Punkt in F eingesetzt, um zu überprüfen ob dort 0 rauskommt. Danach habe ich die Funktion jeweils nach x,y und z abgeleitet und wieder den Punkt eingesetzt, um zu überprüfen, ob das Ergebnis ungelich 0 ist. Dies war bei x und y der Fall. Wie kann ich nun die Funktionalmatrizen bestimmen? Vielen Dank im voraus für die Hilfe.
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1 Antwort
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Da wir nur eine Funktion $F$ haben ($F$ bildet ab nach R), sind die gesuchten Funktionalmatrizen Vektoren (die Vektoren mit den partiellen Ableitungen).
Am Beispiel von $x=k(y,z)$: Deine Vorarbeit garantiert, dass es lokal in der Nähe von (1,1) eine Funktion $k$ gibt $F(k(y,z),y,z)=0$ für alle $y,z$ (lokal bei (1,1)) mit $k(1,1)=0$.
Nun nimmt man die Gleichung $F(k(y,z),y,z)=0$ und leitet diese nach $y$ ab und setzt den Punkt ein. Danach umstellen nach dieser partiellen Ableitung (also nach $\frac{\partial k}{\partial y}(1,1,)$. Danach dasselbe mit $z$.
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Noch ein Tipp zwischendurch: ln (und auch sin, cos,...) sind in LaTeX \ln, \sin, \cos... sieht viel besser aus.   ─   mikn 24.05.2022 um 22:38
Danke für die Antwort. Muss ich $F(x,y,z)$ erstmal nach x umformen, damit ich auf $k(y,z)$ komme? Oder kann ich die Gleichung $F(k(y,z),y,z) = 0$ direkt nach y ableiten?   ─   studi22 25.05.2022 um 12:29
Zunächst bitte Sorgfalt: $F(x,y,z)$ kann man nicht umformen, theoretisch(!) könnte man $F(x,y,z)=0$ umformen.
Mach Dir erstmal den Sinn des Satzes über implizite Funktionen klar: Wenn man $F(x,y,z)=0$ nach $x$ umformen könnte, bräuchte man den SiF doch gar nicht, weil man dann eine EXPLIZITE Funktion hätte (mach Dir den Unterschied implizit-explizit klar, warum heißt der Satz wohl so?). Der SiF dient dazu die Existenz einer impliziten Funktion zu garantieren (und einige Eigenschaften), und der ist halt hilfreich, wenn man keine explizite Funktion (durch Umstellen) finden kann (oder nicht so leicht).
Ansonsten folge meiner obigen Anleitung.
   ─   mikn 25.05.2022 um 12:59

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