Konvergenz einer unendlichen Reihe

Erste Frage Aufrufe: 182     Aktiv: 10.11.2021 um 11:57

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Ich tue mich schwer bei der Nummer 2a und 2b. Obwohl sie leicht sein sollte, krieg das mein Gehirn nicht hin.
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Hallo,

wie ist denn die Konvergenz/Divergenz definiert? Such dir die Definition mal raus. 

Was muss für $a_n$ gelten, damit die Folge bestimmt divergiert?

Grüße Christian

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In dem Fall sollte es eine geometrische Reihe sein, also sprich x größer gleich 1, also hier ist es 2^n. Bin mir aber nicht sicher, ob ich das gerade richtig deute.
  ─   deny234 05.11.2021 um 16:32

In welchem Fall? Es geht erstmal um die ganz allgemeine Definition der bestimmten Divergenz. Wie lautet die?
Es geht in der a) auch nicht um die Reihe, sondern um eine beliebige Folge, die die Ungleichung $a_n > 2a_{n-1}$ und somit die Ungleichung $a_n > 2^n a_0$ erfüllt.
  ─   christian_strack 05.11.2021 um 16:47

Die Reihe (1) ist im übrigen auch keine geometrische Reihe. Geometrische Reihen haben die allgemeine Form
$$ \sum\limits_{k=0}^n a_0 q^k $$
  ─   christian_strack 05.11.2021 um 16:48

Eine Folge divergiert bestimmt, wenn sie entweder den Grenzwert ∞ oder −∞ annimmt.   ─   deny234 05.11.2021 um 17:02

Nein das ist nicht die Definition von bestimmter Divergenz. Die formale Definition ist
$$ \forall r \in \mathbb R \ \exists n_0 \in \mathbb N \ \forall n \geq n_0 : a_n \geq r $$
  ─   christian_strack 06.11.2021 um 09:42

Und wie soll ich jetzt damit die Aufgabe lösen?   ─   deny234 06.11.2021 um 16:47

Was sagt dieser Satz denn? Kannst du ihn übersetzen in normalen Wortlaut?   ─   christian_strack 07.11.2021 um 11:42

Für alle r der reelen Zahlen gibt es mindestens ein n0 der natürlichen Zahlen, wo für alle n größer gleich n0 gilt, dass die Folge an kleiner gleich r ist.   ─   deny234 07.11.2021 um 15:37

Ah sorry ich habe ein Relationszeichen falsch herum geschrieben. Es muss am Ende $a_n \geq r$ sein (ich habe es korrigiert)
Also für jede reelle Zahl, finden wir ein Folgeglied der Folge $a_n$, ab dem alle weiteren Folgelglieder größer sind als diese Zahl.
Siehst du jetzt einen Zusammenhang zu der Ungleichung?
  ─   christian_strack 07.11.2021 um 15:47

Ich glaub ich verstehs eh, aber die Fragestellung und welche Folge sie dort meinen ist mir unklar. Weil da steht "verwenden sie Ungleichung (2)" und "aus Beispiel 1 (b)" und da blick ich null durch. Solche Fragen sind mir recht neu deswegen.   ─   deny234 07.11.2021 um 16:39

Sorry das ich heute nicht so oft am PC war:
Es ist jede Folge gemeint, die diese Ungleichung erfüllt. Wie die aussehen, ist für den Moment nicht wichtig. Auch nicht ob es eine oder mehrere dieser Art gibt.
Wir brauchen auch nur diese Eigenschaft. Machen wir uns doch erstmal klar, was diese Ungleichung überhaupt bedeutet.
Jedes Folgeglied ist mehr als doppelt so groß wie der Vorgänger. Außerdem finden wir ein immer größer werdendes Folgeglied. Wir haben hier also ein Wachstum. Das ist schon mal wichtig dafür, dass die Folge nicht konvergiert. Nun müssen wir genau das formal nutzen
Wir nehmen mal ein beliebiges $r\in \mathbb R$. Nun gibt es zwei Möglichkeiten für ein beliebiges $a_k$. Entweder $a_k \geq r$, dann müssen wir nichts weiter machen, da
$$a_n > 2^{n-k} a_k \geq a_k \geq r$$
Also für alle $n\geq k$, sind alle Folgeglieder größer als das $r$. Hier können wir also $k=n_0$ setzen.
Der zweite Fall ist $a_k < r$. Was können wir dann machen? Bedenke, dass wir das $n_0$ suchen, ab dem alle weiteren Folgeglieder größer sind als $r$. Wie könnten wir weiter vorgehen?
  ─   christian_strack 08.11.2021 um 00:42

k > n und n=n0?   ─   deny234 08.11.2021 um 18:35

Was willst du damit genau sagen?
Wir gucken uns nochmal die Definition genau an:
Eine Folge divergent bestimmt (heißt sie geht gegen $\infty$ (oder $-\infty$), wenn egal welche reelle Zahl wir uns angucken ($\forall r \in \mathbb R$), finden wir immer ein Folgeglied ($a_{n_0}$) unserer Folge, ab dem alle weiteren Folgeglieder ($a_n$ mit $\forall n\geq n_0$) größer sind als diese reelle Zahl ($a_n \geq r$).
Wir müssen also folgendes zeigen: für jede beliebige reelle Zahl die wir betrachten, finden wir einen Index $n_0$, ab dem alle Folgeglieder größer sind als diese reelle Zahl.
Einmal mit Zahlen.
Wir betrachten die Folge $a_n = 3^n$. Für diese Folge gilt unsere Ungleichung. Ist das klar?
Wir wollen nun zeigen, dass diese Funktion für $n\to \infty$ selbst $a_n \to \infty$ gilt. Von der Vorstellung her ist das klar. Wir haben die Folge $a_n= \{3,9,27,81,163, \ldots \}$ diese steigt natürlich immer weiter bis ins unendliche. Aber in der Mathematik einfach zu sagen ist ja klar, zählt leider nicht. Deshalb brauchen wir eine andere Methodik.
Wir überlegen uns also, was bedeutet es, bis ins unendliche anzusteigen? Oder besser noch, was muss passieren, damit das wirklich gewährleistet wird?
Was sagt uns, dass die Folge ab dem 150ten Folgeglied nicht konstant bleibt oder ab dem 8000ten Folgeglied aufeinmal wieder fällt?
Und genau dieser Gedanke steckt in dem Beweis: Wenn wir zeigen können, dass völlig egal welche reelle Zahl wir uns nehmen, wir immer ein Folgeglied finden, ab dem alle Folgeglieder größer sind als diese Zahl.
In dieser Aussage steckt die Information, dass unsere Folge immer und immer weiter wächst. Und wir können keine Zahl finden, die das Wachstum nicht irgendwann übersteigt.
Mit Zahlen: Wir wollen zeigen, dass unsere Folge wächst.
Wir nehmen uns eine reelle Zahl, sagen wir 1000. Dann wissen wir, dass $2187=3^7 > 1000$ ist. Also ab $n_0=7$ sind alle weiteren Folgelgieder größer als $1000$. Das passt, denn $3^8 = 3\cdot 3^7$. und $3^9 = 9 \cdot 3^7$ usw.
Nun können wir uns aber auch wieder eine größere Zahl nehmen, sagen wir $100000$. Wir finden dann $3^{11} = 177147 > 100000$. Wieder ist jedes weitere Folglied, mit $n \geq n_0 = 11$ größer als $100000$.
Doch das jetzt wirklich für alle reellen Zahlen zu überprüfen, wird sich als mühseelig heraustellen. Also brauchen wir wieder eine etwas andere Methodik:

(Zurück zum Beweis der Aufgabe)
Wir nehmen uns nun eine beliebige reelle Zahl. Nennen wir sie doch einfach mal $ r$. Also $r\in \mathbb R$ beliebig.
Jetzt haben wir nicht wie vorhin einen Wert für unser $r$. Es wird schwer sein direkt ein passendes $n_0$ aufzustellen.
Also machen wir wieder einen sehr allgemeinen Gedanken. Was kann überhaupt alles für diese reelle Zahl $r$ und einem bel. Folgeglied $a_k$ gelten?
Es kann $a_k \geq r$ sein oder es kann $a_k < r$ sein. Mehr geht nicht.
Wenn nun $a_k \geq r$ gilt, sieht das ja schon mal sehr sehr gut aus (also sagen wir mal $k=n_0$. Das $k$ hätten wir hier nicht extra wählen müssen, aber ich wollte ausdrücken, dass wir uns hier für ein Folgeglied entschieden haben und dieses muss noch nicht den gesuchten Index $n_0$ haben). Jetzt müssen wir aber noch sicher sein, dass jedes weitere $a_n$ mit $n\geq n_0$ auch wirklich größer ist als $r$.
Wenn $a_{n_0}\geq r$, wie können wir nun sicher sein, dass $a_n \geq r, \forall n \geq n_0$? Bedenke die Ungleichung.
Wenn wir das haben, nehmen wir uns den zweiten Fall vor: $a_k < r$.
Wir haben also ein Folgeglied gefunden, dass kleiner ist als unsere reelle Zahl, Wie können wir mit unserer Folge verfahren, um ein Folgeglied zu finden, dass nun größer ist als unser $r$? Denk wieder an die Ungleichung.
  ─   christian_strack 08.11.2021 um 22:49

2^(n+k)*ak, ansonsten weiß ich nicht weiter und ich möchte nicht mehr weiter deine Zeit verschwenden. Wäre dir dankbar wenn du mir noch die genaue Lösung für 2a sagen könntest, damit ich weiß wie die Formulierung ausschaut.   ─   deny234 09.11.2021 um 21:11

Um meine Zeit musst du dir keine Gedanken machen ;)
Wenn du das hier danach verstanden hast, war das jede Minute wert.
Versuch mal nicht einfach nur einen Ausdruck dort hinzuschreiben, sondern erstmal mit Worten meine Frage zu beantworten.
Wenn für irgendein $n_0$ die Ungleichung $a_{n_0} \geq r$ erfüllt ist, wie können wir uns sicher sein, dass jedes $a_n$ mit $n \geq n_0$ auch größer als das $r$ ist?
  ─   christian_strack 10.11.2021 um 11:57

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