Verständnisfrage Vektorräume

Aufrufe: 420     Aktiv: 22.03.2022 um 12:25
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Hallo zusammen,
wir machen an der Uni gerade Vektorräume und alls was dazu gehört. Jetzt hab ich aber eine kleine Verständnislücke, ich kann mir das ganze Thema nicht wirklich vorstellen, die ich gerne schließen würde.
Zur Überprüfung, ob eine Menge im Vektorraum liegt soll man ja die 8 Vektorraumaxiome nutzen. Das scheint mir aber etwas umständlich.
In einem Beispiel in unserem Buch werden zur Überprüfung der Vektorräume aber die Kriterien für den Untervektorraum genommen. Ich nehme an man kann davon ausgehen, wenn ich einen Untervektorraum finde, dann gibt es auch den großen Vektorraum. Kann ich das immer machen?
Und zur Überprüfung des Untervektorraums nehme ich die 3 Regeln:
U ist UVR, falls
1. 0 Element von U
2. x,y Element von U -> x+y Element von U
3. x Element von U, Lamda Element von K -> Lamda * x Element von U

Verstehe ich das richtig? Beziehungweise habt ihr sonst noch ein paar Tipps zu dem Thema um es besser zu verstehen?
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1 Antwort
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Ein Untervektorraum ist selber auch ein Vektorraum. Sollst du nun zeigen, dass es sich bei einer Menge mit bestimmten Verknüpfungen um einen Vektorraum handelt und du kennst einen Vektorraum mit diesen Verknüpfungen, der diese Menge enthält,  dann reicht es also die UVR-Axiome zu prüfen.
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Okay, also wenn ich zum Beispiel als Menge f monoton steigend oder monoton fallend gegeben bekomme dann such ich mir einfach 2 Funktionen mit diesen Kriterien raus und überprüf sie? Ich hab dieses Beispiel so gelöst, indem ich f(x)=x³ und g(x)=-x definiert habe und sie dann mit dem 2 UVR-Axiom zu überprüfen. (f+g)*(x)=x³-x. Dann habe ich geschrieben "hat Nullstelle an x0=0 und x1=+-1. ergo kein Vektorraum." Weil die Verknüpfung laut 2 UVR-Axiom ja nicht monoton fallend oder steigend ist. Ist das korrekt?
   ─   anonym984ab 22.03.2022 um 09:24
Ja, das stimmt, aber Vorsicht: so darfst du nur Vorgehen, wenn es sich um keinen Vektorraum handelt, nur dann reicht ein Gegenbeispiel. Ansonsten musst du das allgemein zeigen, versuch es ruhig mal an diesem leicht abgeänderten Beispiel: Sei \(V\) die Menge aller reellen monoton steigenden Funktionen. Zeigen Sie, dass \(V\) ein Untervektorraum vom Vektorraum aller reeller Funktionen ist.   ─   mathejean 22.03.2022 um 09:39
Ich hab jetzt als Beispiel f(x)=x³ und g(x)=x genommen.
1, 0 ist Element von V da 0³=0
2. x³ und x sind beide Element von R. f(x)=x³+x ist ebenfalls Element von R. Aber wie ich das genau zeige weiß ich leider nicht.
3. Wenn man eine beliebige Zahl auf eine reelle Funktion multipliziert ist sie doch immer noch reell oder?   ─   anonym984ab 22.03.2022 um 09:56
Du darfst hier nicht mit Beispielen arbeiten, hier musst du das allgemein zeigen... zu 1.) Weißt du überhaupt, was hier der Nullvektor ist?   ─   mathejean 22.03.2022 um 10:05
Ok neuer Versuch. Ich dachte man muss immer mit Beispielen argumentieren wie in dem Beispiel, dass ich gebracht habe.
1. f(x)*O=0 (Nullvektor ist 0)
2. Weiß ich leider nicht wie ich ohne Beispiele argumentieren soll...
3. Wenn ich das Lamda kleiner als 0 wählen würde, wäre es doch negativ, also wäre die Funktion monoton fallend.
Ich tu mir etwas schwer das alles allgemein hinzuschreiben.
   ─   anonym984ab 22.03.2022 um 10:51
1. Der Nullvektor ist die Nullabbildung, also \(f(x)=0 \forall x\in \mathbb{R}\) 3. Gut aufgepasst, ich habe mir eine schlechte Aufgabe ausgedacht, tut mir leid. Hier eine bessere Aufgabe (eines wichtigen Unterraums): Sei \(V\) ein \(K\)-VR und \(L\) die Menge aller Abbildungen \(f: V\to V\) mit \(f(\alpha x+\beta y)=\alpha f(x)+\beta f(y)\) für alle \(x,y \in V\) und \(\alpha,\beta \in K\). Zeigen Sie, dass \(L\) ein Unterraum vom Vektorraum alles Abbildungen von \(V \to V\) ist. Das sieht jetzt vielleicht kompliziert aus, ist es aber nicht. Wenn du die Aufgabe (vielleicht auch mit Hilfe) lösen kannst, solltest du bei allen Aufgaben keine Probleme haben.   ─   mathejean 22.03.2022 um 12:24

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