Streng genommen wendet man die Substitutionsregel an: Multiplizieren der DGL mit \(2y(x)\) liefert \(2y(x)y'(x)=\cos x\).  Jetzt integriert man auf beiden Seiten bzgl. \(x\).  Links ergibt sich: \[\int2y(x)y'(x)\mathrm{d}x=\left|\begin{aligned}z&=y(x)\\\mathrm{d}z&=y'(x)\mathrm{d}x\end{aligned}\right|=\int2z\mathrm{d}z=\int2y\mathrm{d}y.\] Im letzten Schritt habe ich die Integrationsvariable \(z\) einfach durch eine andere Variable \(y\) ersetzt, das darf man.

Häufig schreibt man einfach \(\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}\) statt \(y'\) und kann dann so umformen, als ob die Differentiale Zahlen wären (was sie in Wirklichkeit aber nicht sind): \[2y\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=\cos x\Leftrightarrow2y\mathrm{d}y=\cos x\mathrm{d}x\] und setzt dann einfach Integralzeichen davor. Die Begründung dafür steht oben.

Hilft das?