Injektivität und Surjektivität von R^2 nach R^2

Erste Frage Aufrufe: 271     Aktiv: 12.11.2023 um 15:22

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u: R^2 → R^2: (x, y)→ (3x − y, 2x + 2y)
Wie kann ich diese Funktion auf Injektivität und Surjektivität überprüfen? Ich weiß wie es von R nach R geht oder mit anderen Mengen aber mit R^2 habe ich meine Probleme. Generell komme ich schon irgendwie mit R^2 klar, wenn ich z.B. von (x,y) nach (3x - y, -y) abbilden müsste, da ich da nur eine Unbekannte im Y-Teil des Vektors hätte. Wie das rechnen aber mit jeweils zwei Unbekannten im Vektor aussieht kann ich mir beim besten Willen nicht vorstellen. Vielen Dank für die Hilfe. LG Benedikt.
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Es geht hier um ein LGS. Z.B. die Bedingung $f(x_1,y_1)=f(x_2,y_2) \implies x_1=x_2, y_1=y_2$ bedeutet sich mit einem LGS zu beschäftigen (hinschreiben! 2 Gl, 4 Unbek.), wir suchen aber nur die Differenzen $u_1=x_1-x_2, u_2=y_1-y_2$, die für Injektivität null sein müssen. Drücke also alles mit $u_1,u_2$ aus.
Wenn Du Matrizen schon kennst, kannst Du $f$ auch mit einer Matrix $A$ schreiben, also $f(x,y)=A\binom{x}y$, dann wird alles einfacher zu schreiben. Wenn Du schon viel über Matrizen weißt, musst Du fast gar nicht mehr rechnen, sondern nur einige Sätze anwenden.
Für Surjektivität gelten dieselben Hinweise.
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