Konvergente Folge soll gegen a konvergieren

Aufrufe: 159     Aktiv: 19.11.2022 um 16:51

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Zeigen Sie: (an)nN konvergiert genau dann gegen a, wenn
ε > 0 n0 N n > n0 : |an a| ≤ ε

Ich verstehe hier absolut nicht, was hier von mir verlangt wird und wie ich hier vorgehen soll, ist mir auch ein Rätsel.

EDIT vom 19.11.2022 um 15:05:

Definition Skript
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gefragt

Student, Punkte: 26

 

Wie habt ihr denn Konvergenz definiert?   ─   mathejean 19.11.2022 um 11:00

Die Zahl x heißt Grenzwert (limes) der Folge (xn)n∈N, wenn
∀ε > 0∃n0 ∈ N∀n ≥ n0 : d(x, xn) < ε.
Eine jede Folge, die einen Grenzwert (in einer Menge X) hat, heißt konvergent (in X)
  ─   ramy69 19.11.2022 um 11:13
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1 Antwort
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Es fehlen die Angaben:

in der Def.: vollständige Voraussetzungen sind nötig, insb. zu $x$ und $x_n$.
zur Beh.: vollständige Voraussetzungen sind nötig, insb. zu $a$ und $a_n$.

Da Du das weglässt, hast Du es vielleicht selbst nicht gelesen, aber darin liegt gerade die Lösung der Aufgabe.

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Lehrer/Professor, Punkte: 31.81K

 

Es seien (an)n∈N ⊆ R eine Folge und a ∈ R. Dies hier? hab ich anscheinend vergessen mit in die aufgabe zu schreiben

Eine Folge ist eine Funktion mit Definitionsbereich N
  ─   ramy69 19.11.2022 um 12:54

Das ist die Antwort auf meine zweite Frage. Und auf die erste? Bitte alles lesen, in den Aufgaben und in den Helfer-Antworten/Kommentaren.   ─   mikn 19.11.2022 um 13:01

Hm ich dachte das wäre auch die Antwort auf die erste. Im Skript wird dazu nichts weiter gesagt, bis auf das xn die Folge ist und x der wert gegen den die folge konvergiert
  ─   ramy69 19.11.2022 um 14:41

Poste mal ein Foto der Def. aus dem Skript, mit dem Abschnitt davor (oben "Frage bearbeiten").   ─   mikn 19.11.2022 um 14:49

ist gemacht   ─   ramy69 19.11.2022 um 15:05

Nicht gut, das Skript. Es steht nirgendwo, woher die Folge genommen ist, anscheinend einfach eine Menge X. Aber was ist d? Es sollte dann noch weiter oben irgendwas zu d stehen.   ─   mikn 19.11.2022 um 15:09

d soll der abstand zwischen der folge und dem grenzwert sein   ─   ramy69 19.11.2022 um 15:12

Irgendwo sollte stehen, dass d eine Metrik ist, und was das bedeutet. Das ist nämlich hier bei der Aufgabe der entscheidende Punkt. Schau das nach, was da generell über Metriken steht, insb. ob es was mit dem Absolutbetrag zu tun hat.   ─   mikn 19.11.2022 um 15:17

Ja steht imSkript drin was die eigenschaften einer metrik sind. Vom absolutbetrag ist allerdings keine Rede. Aber Vielen dank!   ─   ramy69 19.11.2022 um 15:23

Gut, haben wir das geklärt. Also:
Wir haben: Die Def. (mit dem zusammengesuchten Kram dazu, der eigentlich mit in die Def. gehört).
Wir wollen: Die Beh.
Vorgehen: Vergleiche. Was muss also gezeigt werden?
  ─   mikn 19.11.2022 um 15:27

Dass die Folge an gegen a konvergiert und damit der abstand von a und an, Ia-anI ist, wenn gilt dass ∀ε > 0 ∃n0 ∈ N ∀n > n0 : |an − a| ≤ ε .   ─   ramy69 19.11.2022 um 15:52

Das ist die abgeschriebene Beh.. Wozu haben wir solange über die Def. geredet? Vergleiche! Was folgt aus dem Vergleich?   ─   mikn 19.11.2022 um 15:55

Es tut mir wirklich unfassbar leid, dass ich mich so verdammt dumm anstelle. Dass die Definiton auch dann gilt wenn n nur kleiner als n0 ist und der abstand sogar gleich epsilon sein kann? Ich habe wirklich keinen Schimmer. Ich bin glaube ich echt zu blöd für das alles   ─   ramy69 19.11.2022 um 16:12

Rate doch nicht herum. Es geht (jetzt gerade) nur um Lesen und Schreiben. Schreib die Def. und die Beh. untereinander und vergleiche. Wenn Du das nicht kannst, frage jemanden, der absolut keine Ahnung von Mathe hat. Der wird Dir sagen können, was man beim Vergleich der beiden Zeilen feststellt.   ─   mikn 19.11.2022 um 16:19

Ja dann muss gezeigt werden, dass die definiton auch gilt, wenn n nur kleiner n0 und wenn der Abatsand auch gleich Epsilion sein darf   ─   ramy69 19.11.2022 um 16:22

So kommen wir nicht weiter. Vorübung:
Betrachte die folgenden Zeilen:
abcdabcd
abcefbcd
Vergleiche. Ergebnis? Dass Du dafür meinst zu blöd zu sein nehme ich Dir nicht ab.
Schreibe die etliche Mal erwähnten Zeilen untereinander und lade hier hoch. Mach genau das, nichts anderes bitte.
  ─   mikn 19.11.2022 um 16:25

Es tut mir wirklich leid.
In der Vorübung hier soll "da" und "ef" das gleiche sein

∀ε > 0 ∃n0 ∈ N ∀n > n0 : |an − a| ≤ ε
∀ε > 0∃n0 ∈ N∀n ≥ n0 : d(x, xn) < ε
ich hoffe es ist das gemeinte
  ─   ramy69 19.11.2022 um 16:30

Ok, endlich abgeschrieben. Auf den Vergleich warte ich immer noch.   ─   mikn 19.11.2022 um 16:36

Sie bekommen bestimmt schon graue Haare meinet wegen.
Bei dem oberen ist zwischen n und n0 ein kleiner und unten ein kleiner gleich. Zudem ist bei Epsilon oben ein größer gleich und unten ein größer. Und die Notation für den Abstand ist unterschiedlich
  ─   ramy69 19.11.2022 um 16:39

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Die zweite Zeile haben wir allgemein, für alle Metriken. Die erste wollen wir (ich wollte aus gutem Grund, dass Du es andersrum aufschreibst). Die Beh. ist ein Spezialfall bzw. eine Anwendung der Def.   ─   mikn 19.11.2022 um 16:44

Ah ok ja verstehe. Darauf wollten SIe hinaus.   ─   ramy69 19.11.2022 um 16:51

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