Dimensionsformel

Erste Frage Aufrufe: 39     Aktiv: 16.02.2021 um 09:13

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Eine lineare Abbildung von V nach W.
Eine Dimension einer Basis kann man berechnen mit dem dim(V)= dim(K) + dim (B) und K stellt den Kern dar und B das Bild. Kann mir jemand den Beweis erklären? Die Idee dahinter ist meines Wissens die Basisvektoren vom Kern zu einer Basis von v mit dem Bild zu ergänzen, aber wie kann ich das zeigen, dass f(v)=(b) eine Basis ist die Ergänzt werden? Ich hoffe haben kann den Beweis skizzieren.
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ich bin leider gar nicht im Thema drin, aber ich glaube das gilt durch den Austauschsatz von Steinitz. Siehe hier:

https://en.wikipedia.org/wiki/Rank%E2%80%93nullity_theorem#First_proof
  ─   holly 15.02.2021 um 23:22

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Nach dem Homomorphiesatz gilt \(V/\ker f\cong im f\), also auch \(\dim(im f)=\dim(V/\ker f)\). Für den Beweis genügt es also zu zeigen, dass \(\dim(V/U)=\dim V-\dim U\) für endlich-dimensionales \(V\). Sei \(\{v_1+U,\ldots,v_n+U\}\) eine Basis von \(V/U\) und \(u_1,\ldots,u_m\) eine Basis von \(U\). Wegen \(U\cap \{v_1,\ldots,v_n\}=\emptyset\) ist \(\{v_1,\ldots,v_n,u_1,\ldots,u_m\}\) linear unabhängig, zu zeigen ist also noch, dass die Menge auch \(V\) erzeugt, dann sind wir fertig. Das ist ebenso einfach: Für \(v\in V\) sei \(v+U=\sum_{i=1}^n\lambda_iv_i+U\), dann ist \(v-\sum_{i=1}^n\lambda_iv_i\in U\), also als Linearkombination der \(u_i\) darstellbar, und daraus folgt die Behauptung.
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