Konvergenz der Folge a_k

Aufrufe: 29     Aktiv: 28.06.2021 um 15:18

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Moin ich habe folgendes Problem:

Sei (bn) n ∈ ℕ0 eine Folge in ℝ. Die Folge (ak) k ∈ ℕ0 sei definiert durch ak := b0 + ... + bk .

Zeigen sie, dass die Folge ak für die folgende Wahl konvergiert und bestimmen sie jeweils den Grenzwert.

Wir wählen bn : = 2/(n+1) (n+3) für n ∈ ℕ0
Ich weiß wie man den Grenzwert bei der Geometeischen Reihe bestimmt, aber wie funktioniert das ganze hier?

Grüße

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Mache Partialbruchzerlegung, d.h. finde Parameter $A,B\in\mathbb R$, sodass $$\frac2{(n+1)(n+3)}=\frac A{n+1}+\frac B{n+3}.$$ Was entsteht, ist eine sogenannte Teleskopsumme, bei den $b_n$ kürzen sich fast alle Summanden heraus. Beweise dann mit vollständiger Induktion, dass $b_n=\frac32-\frac1{n+2}-\frac1{n+3}$ gilt, auf diesen Ausdruck kommst du eben, wenn du die Teleskopsumme aufschreibst und alles weglässt, was sich herauskürzt. Aus dieser Darstellung von $b_n$ lässt sich sofort die Konvergenz und der Grenzwert ablesen.
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