Wenn wir uns die Menge \(\{1,\dots,2n\}\) anschauen, so stellen wir fest, dass sie so aufgebaut, ist, dass in ihr genau \(n\) gerade und \(n\) ungerade Zahlen sind. Damit ist die Anzahl der Kombinationen für die Auswahl von genau \(i\) ungeraden Zahlen aus der Menge \(\binom{n}{i}\). Für die Auswahl von genau \(n-i\) geraden Zahlen gibt es \(\binom{n}{n-i}\) Kombinationen. Somit folgt

\(a_{n,i} = \binom{n}{i}\binom{n}{n-i}\).

Vorweg wenn ich aus der Menge mit \(2n\) Elemtenten \(n\) Elemente auswähle, so gibt es \(\binom{2n}{n}\) Kombinationen.

Schauen wir uns unsere Menge mit den kleinsten \(2n\) natürlichen Zahlen an, so kann ich festellen: Eine Auswahl von \(n\) Zahlen ist die Summe aller Kombinationen mit 0 ungeraden (und \(n\) geraden), 1 ungeraden (und \(n-1\) geraden), ..., \(n\) ungeraden (und \(n-n=0\) geraden). also ist die Anzahl der Kombinationen für eine Auswahl von  \(n\) Elementen aus einer \(2n\)-elementigen Menge:

\(\displaystyle\sum_{j=0}^n a_{n,j} = \sum_{j=0}^n \binom{n}{i} \binom{n}{n-i}\) (siehe a) )

\( = \displaystyle\sum_{j=0}^n \binom{n}{i} \binom{n}{i}\) (Symmetrie des Binomialkoeefizeinten)

\( = \displaystyle\sum_{j=0}^n \binom{n}{i}^2\)

Damit ist die Identität der linken und rechten Seite gezeigt.

Nehmen wir an unter Kombinationsmöglichktien verstehen wir die Anzahl der Getränkesorten im Kasten (ohne Berücksichtigung der Anzahl der Flaschen einer Sorte), so kann ich 1-getränkige, 2-getränkige, ..., 12-getränkige Kisten zusammenstellen.

\(\displaystyle\sum_{i=0}^{12} \binom{21}{i} =1\,695\,221 \)

Wenn wir nun aber die Anzahl der der Flachen beshäftigen, so wird das deutlich mehr.