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Das ist doch schon ein sehr guter Ansatz. Du sagst, du kommst mit normalen Reihen klar, aber mit diesen hier nicht. Stell dir diese Reihen hier als ganz normale Reihen vor, die halt zufälligerweise einen Parameter (\(x\)) haben, wo andere eine Zahl hätten.
Bei der ersten Reihe hast du bis hierhin alles richtig gemacht. Daraus kannst du nun folgern, dass sie auf \((-\infty,-1)\cup(1,\infty)\) konvergiert und auf \((-1,1)\) divergiert, es bleibt also nur noch, \(x\in\{-1,1\}\) zu untersuchen. Das kannst du ja jeweils einsetzen und erhälst eine "normale" Potenzreihe, die du auf Konvergenz untersuchen kannst. Fangen wir mal mit \(x=1\) an, das geht etwas einfacher: Eingesetzt lautet die Reihe $$\sum_{n=1}^\infty\frac1{\left(1-\frac1n\right)^n}.$$ Der Grenzwert im Nenner sollte dir bekannt vorkommen: Es gilt \(\lim_{n\to\infty}\left(1-\frac1n\right)^n=\frac1e\) (wenn nicht, dann frag nochmal nach), also konvergieren die Summanden nicht gegen \(0\) und die Reihe divergiert. Für \(x=-1\) geht es so ähnlich, hier betrachtest du am besten zunächst \(\lim_{n\to\infty}\left|\left(-1-\frac1n\right)^n\right|\).
Bei der zweiten Reihe überprüfe erstmal, für welche \(x\) die einzelnen Summanden überhaupt gegen \(0\) konvergieren.
Bei der dritten Reihe bietet sich wieder das Wurzelkriterium an (wie fast immer, wenn irgendwo ein ^n steht). Hier musst du dann wieder Ränder untersuchen, schau mal, ob du das hinkriegst. Ansonsten kannst du natürlich gern nochmal nachfragen.
Bei der ersten Reihe hast du bis hierhin alles richtig gemacht. Daraus kannst du nun folgern, dass sie auf \((-\infty,-1)\cup(1,\infty)\) konvergiert und auf \((-1,1)\) divergiert, es bleibt also nur noch, \(x\in\{-1,1\}\) zu untersuchen. Das kannst du ja jeweils einsetzen und erhälst eine "normale" Potenzreihe, die du auf Konvergenz untersuchen kannst. Fangen wir mal mit \(x=1\) an, das geht etwas einfacher: Eingesetzt lautet die Reihe $$\sum_{n=1}^\infty\frac1{\left(1-\frac1n\right)^n}.$$ Der Grenzwert im Nenner sollte dir bekannt vorkommen: Es gilt \(\lim_{n\to\infty}\left(1-\frac1n\right)^n=\frac1e\) (wenn nicht, dann frag nochmal nach), also konvergieren die Summanden nicht gegen \(0\) und die Reihe divergiert. Für \(x=-1\) geht es so ähnlich, hier betrachtest du am besten zunächst \(\lim_{n\to\infty}\left|\left(-1-\frac1n\right)^n\right|\).
Bei der zweiten Reihe überprüfe erstmal, für welche \(x\) die einzelnen Summanden überhaupt gegen \(0\) konvergieren.
Bei der dritten Reihe bietet sich wieder das Wurzelkriterium an (wie fast immer, wenn irgendwo ein ^n steht). Hier musst du dann wieder Ränder untersuchen, schau mal, ob du das hinkriegst. Ansonsten kannst du natürlich gern nochmal nachfragen.
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stal
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Das ist eine sehr nette und ausführliche Antwort. Vielen Dank. Ich setze mich jetzt ran, versuche das so, wie du beschrieben hast und melde mich dann nochmal.
─
akimboslice
06.05.2021 um 19:49
Wieso betrachte ich bei \( x = -1 \) den Nenner in Betragsstrichen und bei x = 1 nicht?
Ich habe es trotzdem mal gemacht und komme auf \( lim_{n\to\infty} \left|\left((-1-\frac{1}{n}\right)^n\right| = lim_{n\to\infty} \left|\left(-\frac{n-1}{n}\right)^n\right| \). Die Betragsstriche lassen das Minus verschwinden und ich hab nur noch \( \left( \frac{n-1}{n}\right)^n \). Ohne die Potenz würde das ja offensichtlich gegen 1 konvergieren, aber ich frage mich, wer da "gewinnt". Also ob die n in der Potenz etwas daran ändert, dass die Geschichte gegen 1 konvergiert?
Wenn ich mal so tue, als wäre \( lim_{n\to\infty} \left|\left((-1-\frac{1}{n}\right)^n\right| = 1 \), dann wären alle Summanden 1 und damit wäre die Reihe divergent für \( x \in [-1,1] \).
Bei der zweiten Reihe hab ich spaßeshalber mal paar Zahlen für x eingesetzt, weil du meintest, ich solle mich davon nicht irritieren lassen. Man sieht schnell, dass
a) für große x die Summanden mal so gar nicht zur Nullfolgen sind, weil der Zähler ein Produkt, die Nenner aber nur eine mit einer Wurzel verkrüppelte Summe ist. Das wird sehr schnell sehr groß. Ich habe das Wurzel- und das Quotientenkriterium draufgeworfen, aber das funktioniert nicht, was nicht sonderlich überraschend ist: die Wurzel nervt! ─ akimboslice 06.05.2021 um 20:15
Ich habe es trotzdem mal gemacht und komme auf \( lim_{n\to\infty} \left|\left((-1-\frac{1}{n}\right)^n\right| = lim_{n\to\infty} \left|\left(-\frac{n-1}{n}\right)^n\right| \). Die Betragsstriche lassen das Minus verschwinden und ich hab nur noch \( \left( \frac{n-1}{n}\right)^n \). Ohne die Potenz würde das ja offensichtlich gegen 1 konvergieren, aber ich frage mich, wer da "gewinnt". Also ob die n in der Potenz etwas daran ändert, dass die Geschichte gegen 1 konvergiert?
Wenn ich mal so tue, als wäre \( lim_{n\to\infty} \left|\left((-1-\frac{1}{n}\right)^n\right| = 1 \), dann wären alle Summanden 1 und damit wäre die Reihe divergent für \( x \in [-1,1] \).
Bei der zweiten Reihe hab ich spaßeshalber mal paar Zahlen für x eingesetzt, weil du meintest, ich solle mich davon nicht irritieren lassen. Man sieht schnell, dass
a) für große x die Summanden mal so gar nicht zur Nullfolgen sind, weil der Zähler ein Produkt, die Nenner aber nur eine mit einer Wurzel verkrüppelte Summe ist. Das wird sehr schnell sehr groß. Ich habe das Wurzel- und das Quotientenkriterium draufgeworfen, aber das funktioniert nicht, was nicht sonderlich überraschend ist: die Wurzel nervt! ─ akimboslice 06.05.2021 um 20:15
Es ist \(\lim_{n\to\infty}\left(1+\frac1n\right)^n=e\neq0\). Den Betrag braucht man nicht zwingend, aber ohne den Betrag konvergiert die Folge nicht, sondern besitzt eine Zerlegung in zwei disjunkte Teilfolgen, die gegen \(\pm e\) konvergieren. Das ist aufwendiger zu untersuchen, deshalb habe ich die Betragsstriche dazugeschrieben.
Bei der zweiten Reihe: Finde die \(x\), für die \(\lim_{n\to\infty}\frac{nx}{\sqrt n+x}=0\) gilt. (Du kannst versuchen, im Zähler und Nenner \(\sqrt n\) auszuklammern, vielleicht hilft dir das.) ─ stal 07.05.2021 um 09:21
Bei der zweiten Reihe: Finde die \(x\), für die \(\lim_{n\to\infty}\frac{nx}{\sqrt n+x}=0\) gilt. (Du kannst versuchen, im Zähler und Nenner \(\sqrt n\) auszuklammern, vielleicht hilft dir das.) ─ stal 07.05.2021 um 09:21
Also stimmt meine Berechnung bei der ersten Reihe für x = -1 und es kommt \( \lim_{n\to\infty} \left| \left( - \frac{n-1}{n} \right)^n \right| = 1 \). Das heißt die Reihe divergiert auf beiden Rändern?
Bei der zweiten Reihe hab ich rausbekommen:
$$ \lim_{n\to\infty} \frac{\sqrt{n}\cdot\sqrt{n}\cdot x}{\sqrt{n}\cdot\left(1+\frac{x}{\sqrt{n}}\right)} = \lim_{n\to\infty} \frac{\sqrt{n}\cdot x}{1+\frac{x}{\sqrt{n}}} $$
Und das wird nur für \( x= 0 \) zu Null. Das heißt die gesamte Reihe konvergiert nur für x = 0.
Aber das verstehe ich nicht. War der Gedanke hinter deinem Satz, dass ich schauen soll, für welche x \(
\lim_{n\to\infty} \frac{nx}{\sqrt{n}+x} = 0 \) gilt der, dass Reihen nur konvergieren, wenn die Folge eine Nullfolge ist, oder übersehe ich etwas?
Mir fehlt noch so bisschen der Aha-Moment, wie ich an solche Aufgaben herangehe. Ob jetzt schauen, wann das eine Nullfolge ist und wann Quotienten- oder Wurzelkriterium. ─ akimboslice 07.05.2021 um 11:14
Bei der zweiten Reihe hab ich rausbekommen:
$$ \lim_{n\to\infty} \frac{\sqrt{n}\cdot\sqrt{n}\cdot x}{\sqrt{n}\cdot\left(1+\frac{x}{\sqrt{n}}\right)} = \lim_{n\to\infty} \frac{\sqrt{n}\cdot x}{1+\frac{x}{\sqrt{n}}} $$
Und das wird nur für \( x= 0 \) zu Null. Das heißt die gesamte Reihe konvergiert nur für x = 0.
Aber das verstehe ich nicht. War der Gedanke hinter deinem Satz, dass ich schauen soll, für welche x \(
\lim_{n\to\infty} \frac{nx}{\sqrt{n}+x} = 0 \) gilt der, dass Reihen nur konvergieren, wenn die Folge eine Nullfolge ist, oder übersehe ich etwas?
Mir fehlt noch so bisschen der Aha-Moment, wie ich an solche Aufgaben herangehe. Ob jetzt schauen, wann das eine Nullfolge ist und wann Quotienten- oder Wurzelkriterium. ─ akimboslice 07.05.2021 um 11:14
Nein, der Grenzwert ist eben \(e\) und nicht \(1\). Aber daraus folgt natürlich trotzdem, dass die Reihe divergiert.
Bei der zweiten Reihe hast du alles richtig erkannt. Wir verwenden hier das Kriterium, dass eine Reihe nur konvergieren kann, wenn die Folge eine Nullfolge ist, und das ist hier nur bei \(x=0\) der Fall. Also divergiert die Reihe schonmal für alle \(x\neq 0\). Dann müssen wir noch \(x=0\) untersuchen (denn die Konvergenz der Folge ist ja nur ein notwendiges, aber kein hinreichendes Kriterium), aber für \(x=0\) ist klar, dass die Reihe konvergiert, weil alle Summanden \(0\) sind.
Zur generellen Vorgehensweise: Grundsätzlich muss man einfach Rumprobieren, bis man etwas findet, was passt. Zu schauen, ob die Folge der Summanden eine Nullfolge ist, ist oft ein ganz guter Anfang. Ansonsten gibt es natürlich Indizien, z.B. wenn irgendwo \(x^n\) steht, bietet sich oft das Wurzelkriterium an. Aber wenn du nicht unmittelbar einen Ansatz siehst, probier einfach alle Kriterien, die du kennst, aus. ─ stal 07.05.2021 um 11:20
Bei der zweiten Reihe hast du alles richtig erkannt. Wir verwenden hier das Kriterium, dass eine Reihe nur konvergieren kann, wenn die Folge eine Nullfolge ist, und das ist hier nur bei \(x=0\) der Fall. Also divergiert die Reihe schonmal für alle \(x\neq 0\). Dann müssen wir noch \(x=0\) untersuchen (denn die Konvergenz der Folge ist ja nur ein notwendiges, aber kein hinreichendes Kriterium), aber für \(x=0\) ist klar, dass die Reihe konvergiert, weil alle Summanden \(0\) sind.
Zur generellen Vorgehensweise: Grundsätzlich muss man einfach Rumprobieren, bis man etwas findet, was passt. Zu schauen, ob die Folge der Summanden eine Nullfolge ist, ist oft ein ganz guter Anfang. Ansonsten gibt es natürlich Indizien, z.B. wenn irgendwo \(x^n\) steht, bietet sich oft das Wurzelkriterium an. Aber wenn du nicht unmittelbar einen Ansatz siehst, probier einfach alle Kriterien, die du kennst, aus. ─ stal 07.05.2021 um 11:20
Bei x = -1 hab ich doch im Nenner \( \left( -1 - \frac{1}{n} \right)^n \). Wie konvergiert die gesamte Reihe gegen \( e \)? Dafür müsste gerade genannter Bruch ja gegen \( e^{-1} \) konvergieren.
─
akimboslice
07.05.2021 um 11:28
Der Nenner konvergiert im Betrag gegen \(e\), also konvergiert die Folge im Betrag gegen \(\frac1e\) und damit nicht gegen \(0\).
─
stal
07.05.2021 um 11:30
Alles klar. Vielen Dank, ich hab die erste und zweite Reihe jetzt gelöst. Ich schau nochmal drüber und hoff, dass ich's auch komplett verstanden hab. Das einzige, was mir noch nicht ganz klar ist, ist, wieso der Nenner im Betrag gegen e konvergiert. Genauer: mir ist nicht klar, wie die Betragsstriche aus \( \left( -1 - \frac{1}{n} \right)^n \) das machen, was für e als Grenzwert notwendig ist: \( \left( 1 + \frac{1}{n} \right) ^n \)
─
akimboslice
07.05.2021 um 11:46
$$\left|\left(-1-\frac1n\right)^n\right|=\left|-1-\frac1n\right|^n=\left(|-1|\cdot\left|1+\frac1n\right|\right)^n=1^n\cdot\left|1+\frac1n\right|^n=\left(1+\frac1n\right)^n$$
─
stal
07.05.2021 um 12:00