Konvergenz Quotientenkriterium

Aufrufe: 760     Aktiv: 30.01.2020 um 18:33

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Wie berechne ich die Konvergenz der Reihe an= n!/n^n?

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Student, Punkte: 22

 
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\( \frac{a_{n+1}}{a_n}=\frac{(n+1)!n^n}{(n+1)^{n+1}n!}=\frac{(n+1)\cdot n^n}{(n+1)^{n+1}}=\frac{n^n}{(n+1)^n}=\left(\frac{n}{n+1}\right)^n=\frac{1}{\left(\frac{n+1}{n}\right)^n}= \frac{1}{\left(1+\frac{1}{n}\right)^n}\)

und \(\lim\limits_{n\to\infty} \frac{1}{\left(1+\frac{1}{n}\right)^n} =\frac{1}{e}<1 \) und fertig.

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Student, Punkte: 4.59K

 

Wie kommt man auf den 3 Und 4 schritt?
Den Anfang verstehe ich nun, aber dann wenn man kürzt sind noch einige Fragezeichen.
Man kürzt also das (n+1)! Mit dem n! Und hat im Nenner dann (n+1)*n^n und das wird zu n^(n+1) + n^n

Im Zähler hat man also noch (n+1)^(n+1)

Aber hier komme ich nicht weiter kürzt man nun das n^(n+1) mit (n+1)^(n+1) und bekommt (n+1)^n?
  ─   katharinawagner 30.01.2020 um 15:30

Hallo, ich habe oben noch drei Zwischenschritte eingebaut beim Kürzen.
Die letzte Bemerkung folgt direkt aus der Definition der Exponentialfunktion:
\( e = \lim\limits_{n \to \infty} \left( 1 + \frac 1n \right)^n \)
  ─   holly 30.01.2020 um 18:33

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