Vollständige Induktion

Aufrufe: 54     Aktiv: 20.11.2023 um 17:27
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Ich benötige für den Beweis mittels vollständiger Induktion für 

$$
\sum_{k=1}^n k^3 = \frac{n^2(n+1)^2}{4}
$$

mein Lösungsansatz:

I.A.: für n=1 

$$
1^3=\frac{1^2(1+1)^2}{4}
1=\frac{4}{4}=1 
$$ 

I.V.:
$$
\sum_{k=1}^n k^3 = \frac{n^2(n+1)^2}{4}
$$ sei Wahr 


I.B.
$$
\sum_{k=1}^{n+1} k^3 = \frac{(n+1)^2((n+1)+1)^2}{4}= \frac{(n+1)^2(n+2)^2}{4}
$$

Beweis
$$
\sum_{k=1}^n k^3 + (n+1)= \frac{(n+1)^2((n+1)+1)^2}{4}= \frac{(n+1)^2(n+2)^2}{4}
$$



dann komme ich nicht weiter .. 

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Student, Punkte: 12

 
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1 Antwort
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Dein Fehler liegt gleich am Anfang des Induktionsschritts. Vielleicht liegt es daran das du nicht mit der korrekten Behauptung angefangen hast. Das $(n+1)$-te Summenglied ist nicht $(n+1)$, sondern $(n+1)^3$! Fange an mit:
\[\sum_{k=1}^{n+1} k^3 = (n+1)^3 + \sum_{k=1}^n k^3 \overset{IV}{=} \ldots\]
Nachdem du die IV benutzt hast Hauptnenner Bilder und alles auf einen Bruch bringen und so umstellen, dass du dahin kommst wo du hin willst. Wenn du wieder an einen Pjnkt kommst wo es nicht weitergeht, poste ein Foto von deiner Rechnung, dann sehen wir weiter.
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Verstehe ich nicht. Was steht jetzt auf der rechten Seite?   ─   user45b170 20.11.2023 um 14:02
weil auf der rechten seite in meinem Lösungsansatz oben ist A(n+1) ja richtig oder? oder heißt es dann auf der rechten seine:

$$
... = \frac{n^2(n+1)^2}{4}+(n+1)^3
$$

?   ─   user45b170 20.11.2023 um 14:05
Ja genau das kommt raus wenn du die IV einsetzt. Wie geht es jetzt weiter? Als Tipp nicht Ausmultiplizieren sondern Ausklammern.   ─   maqu 20.11.2023 um 17:27

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