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Weil \( I \cap \mathbb{Q} \) dicht in \( I \) ist, finden wir für ein beliebiges \( x \in I \) immer eine Folge \( (a_n)_{n \in \mathbb{N}} \) mit Werten in \( I \cap \mathbb{Q} \) und \( \lim_{n \to \infty} a_n = x \).
Und jetzt muss man ausnutzen, dass die Funktionen \( f \) und \( g \) stetig sind.
Das führt dich hoffentlich zum Ziel.
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Trotz längerem Nachdenken komme ich da im Moment nicht weiter.
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atideva
22.11.2020 um 20:35
Wegen der Stetigkeit, kann man den Limes in die Funktionen rein- bzw. aus den Funktionen rausziehen. Und da nach Konstruktion \( f(a_n)=g(a_n) \) ist, folgt \( f(x) \) \( = f( \lim_{n \to \infty} a_n ) \) \( = \lim_{n \to \infty} f(a_n) \) \( = \lim_{n \to \infty} g(a_n) \) \( = g( \lim_{n \to \infty} a_n ) \) \( = g(x) \)
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22.11.2020 um 20:45