Punktweise/Gleichmäßige Konvergenz

Aufrufe: 379     Aktiv: 15.01.2022 um 20:06

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Hallo zusammen, ich hänge ein wenig an dieser Funktion fest.
Und zwar habe ich herraus gefunden, denke ich zumindest, dass fn(x) punktweise gegen f(x) = x konvergiert für n - > unendlich. 
( sqrt(x^2 + 0) = x).
Nun möchte ich überprüfen ob fn(x) auch gleichmäßig konvergiert.
Also müsste ich ja schauen ob lim (n -> unendlich) |sqrt(x^2 + 1/n) - x| = 0. Nur gelingt mir keine gute Abschätzung nach unten. Hätte jemand eine Idee, bzw konvergiert diese Funktionenfolge überhaubt gleichmäßig? 

Mit freundlichen Grüßen 

Hendrik Mennenga
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Zunächst einmal (häufiger Fehler!) ist $\sqrt{x^2}\neq x$, sondern $\sqrt{x^2}=|x|$.
Die Folge sollte gleichmäßig konvergieren, dazu untersuchst Du:
$|\sqrt{x^2+\frac1n}-\sqrt{x^2}| =\sqrt{x^2+\frac1n}-\sqrt{x^2} $ und erweiterst (häufiger Trick bei Differenzen von Wurzeln!) mit $\sqrt{x^2+\frac1n}+\sqrt{x^2}$. Dann alles in den Nenner packen und nur noch den Nenner untersuchen, den nach unten abschätzen, so dass kein $x$ mehr drin vorkommt, der Bruch aber immer noch gegen 0 geht - das genau ist ja das Merkmal von gleichmäßiger Konvergenz.
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Perfekt, Dankeschön :)   ─   hendriksdf5 15.01.2022 um 19:58

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