Vektorraum

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Kann mir jemand helfen die Aufgabe 6) b) zu lösen? Ich kann mir irgendwie bildlich darunter nichts vorstellen. Was ist überhaupt ein Parallelepiped? Danke!

gefragt 2 Wochen, 6 Tage her
anonym
Punkte: 98

 
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1 Antwort
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Ein Parallelepiped ist ein spezielles Prisma welches sechs Parallelogramme als Begrenzungsflächen hat. Folgendes Bild soll dies verdeutlichen (Quelle Wikipedia):

Der Quader ist dabei ein Spezialfall. Wie jedes Volumen eines Prisma berechnet sich dieses durch Grundfläche mal Höhe (\(V=A_G\cdot h\)), wobei \(||a\times b||\) deine Grundfläche beschreibt. Deine Projektion \(||\mathcal{P}_{\langle a\times b\rangle_{\mathbb{R}}} (c)||\) ist als \(h\) in der Zeichnung zu verstehen. Wenn du dir nun noch überlegst wie du die Grundfläche mit Hilfe von \(\vec{a},\vec{b}\) und \(\gamma\) (Notationen aus der Skizze übernommen) darstellen kannst und wie sich deine Höhe durch \(\vec{c}\) und \(\theta\) berechnen lässt (Notationen auch aus der skizze), dann ist der Beweis doch recht schnell aufgeschrieben.

 

Ich hoffe ich konnte dir wenigstens vermitteln, was darunter zu verstehen ist.

geantwortet 2 Wochen, 6 Tage her
maqu
Punkte: 3.11K
 

Spat und Parallelepiped sind Synonyme. Es geht in der Aufgabe ja auch um das Spatprodukt.   ─   mikn 2 Wochen, 6 Tage her

oh tatsächlich danke @mikn .... ich war der Annahme ein Spat ist ein schräges Prisma, wo die Grund- und Deckfläche kein Parallelogramm sein muss, aber da hab ich mich geirrt ... ändere es gleich ab   ─   maqu 2 Wochen, 6 Tage her

Perfekt, danke @maqu! Ich komm dann auf die Lösung: ||axb||*||c||*cos(alpha)
Könntest du mir noch erklären, was das spat in der Angabe bedeutet. Was versteht man unter "aufgespannten" ?
  ─   anonym 2 Wochen, 5 Tage her

Das ist eine Definition und nennt sich Spatprodukt. Ein Parallelepiped bezeichnet man auch als Spat. Und in der Zeichnung sieht man ganz deutlich, was aufgespannt bedeutet: Du hast drei Vektoren, aus denen du wie in der Zeichnung ein Spat aufspannen kannst.   ─   cauchy 2 Wochen, 5 Tage her

Ist das dann eine Fläche?   ─   anonym 2 Wochen, 5 Tage her

Nein, ein Volumen. Sieht man doch am Bild ganz deutlich. Oder ist dir das unklar?   ─   cauchy 2 Wochen, 5 Tage her

@anonym genau und \(|\langle a\times b,c\rangle|\) ist dann auch genau gleich deiner Lösung
zu deiner Aufspannfrage: sowohl \(\vec{a}\) und \(\vec{b}\) als auch \(\vec{a}\) und \(\vec{c}\) sowie \(\vec{b}\) und \(\vec{c}\) spannen jeweils ein Parallelogramm auf, welches eine Begrenzungsfläche des Spats ist. Somit spannen also die Vektoren \(\vec{a}, \vec{b}\) und \(\vec{c}\) das Spat auf.
  ─   maqu 2 Wochen, 5 Tage her

also zwei Vektoren spannen eine Fläche (Parallelogramm) auf und drei Vektoren ein Volumen (Spatvolumen)   ─   maqu 2 Wochen, 5 Tage her

@maqu, dankeee :) super verständlich erklärt. Jetzt weiß ich was ein spat ist.   ─   anonym 2 Wochen, 5 Tage her

Immer gern :)   ─   maqu 2 Wochen, 5 Tage her
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