Totalität und Eindeutigkeit einer Relation beweisen

Aufrufe: 131     Aktiv: 17.11.2022 um 10:56

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Gegeben ist:
M:={-7,-5,-3,-1,1} ; N:={-15,-5,0,5,15} und die Relation R ⊆ M × N die definiert ist durch
R := {(x, y) ∈ M ×N | −1 ≤ x2 +x−6−y ≤ 2}.

Im ersten Teil der Aufgabe sollte wir die Relation R ⊆ M × N explizit daarstellen dabei kommt folgende Relation heraus:
R ⊆ M × N={(1,-5),(-1,-5),(-3,0),(-5,15)}

Im zweiten Teil sollen wir jetzt feststellen ob die Relation Eindeutig ist und ob sie total ist.

Dazu habe ich folgende Gedanken:
Eindeutigkeit:
Damit eine Relation eindeutig ist muss folgendes gegeben sein:
R heißt eindeutig, falls für alle x ∈ M und y, z ∈ N gilt: Aus xRy und xRz folgt
y = z.
Da (1,-5)∈R und (-1,-5)∈R gilt für diese Relation xRy und xRz und somit y=z.
Das bedeutet die Relation ist eindeutig.

Totalität:
Damit eine Relation total ist muss folgendes gegeben sein:
R heißt total, falls für alle x ∈ M ein y ∈ N mit xRy existiert.
Unsere Relation stimmt nicht mit der vorgabe für Totalität überein denn nicht alle x∈M und nicht alle y∈M sind in der Relation mindestens einmal vorhanden. Dadurch kann diese Relation nicht als total bezeichnet werden.

Ist meine Schlussfolgerung richtig oder komplett in die Falsche Richtung?

Hilfe wäre toll!
Vielen Dank! 

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Nicht komplett falsch, aber an mehreren Stellen nicht genau hingeschaut. Und klare Erklärungen/Begründungen fehlen.
Im einzelnen: Die Menge mit den 4 Paaren ist nicht $M\times N$, sondern nur $R$.
Zur Eindeutigkeit: Lies die Def. und wende sie genau(!) an. Außerdem geht es in der Def. um "alle". Da ist noch Erklärungsbedarf.
Zur Totalität: Begründung passt nicht zur Def. und ist außerdem einfach mal so behauptet. Wie hast Du in der Aussagenlogik gelernt, dass man Aussagen mit "für alle..." als falsch nachweist?
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Vielen Dank für die Hilfe. Ich habe das ganze jetzt nochmal überarbeitet. Es ist erst die dritte Übung aus Mathe 1 deswegen sind wir mit den Beweisen erst am Anfang.
Ich habe mit den Übungsleitern gesprochen, ich kann den ersten Teil mit abänderung so abgeben da ich die Relation bereits entwickelt habe und in gewissem Maße darauf bezug nehmen kann.

Bei der Totalität habe ich das ganze nochmal komplett abgeändert und folgendes geschrieben.

Damit eine Relation total ist muss folgendes gegeben sein:
R heißt total, falls für alle x ∈ M ein y ∈ N mit xRy existiert.
Die Relation R ist nicht total.
Setze x=-7 und y=-15. Dann ist x ∈ M und y ∈ N.
Die Relation ist definiert durch R := {(x, y) ∈ M ×N | −1 ≤ x2 +x−6−y ≤ 2}.
Überprüfen wir nun die Vorraussetzung −1 ≤ x2 +x−6−y ≤ 2 mit x=-7 und y=-15 können wir feststellen das die Eigenschaft (x,y)∈R nicht für alle x∈M und y∈N erfüllt ist.

Ich weiß hoffe das, dieser "Beweis" jetzt besser ist.
Vielen Dank für deine Hilfe mikn!
  ─   travelurmel 17.11.2022 um 10:34

Zur Eindeutigkeit: Bin skeptisch, ob Du das verstanden hast. "Mit Änderungen abgeben" geht immer, die Frage ist wieviel Änderungen, und welche.
Es hängt alles am genauen Lesen und Aussagenlogik.
Totalität: Das hast Du noch nicht verstanden. Mach Dir den Unterschied zwischen "für alle ... gibt es ... mit ..." und "für alle ... und für alle... gilt:...." klar. Und Du brauchst hier R nicht nochmal aufzurollen, steht ja weiter oben (nach Änderung), da schaut man eben nach was drin steht.
  ─   mikn 17.11.2022 um 10:56

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